关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称

一、题目

难度评级：

二、解析

§2.1 式子 ⟬A⟭ 求解

首先对 $z(x,y)$ 中的 $x$ 求二阶偏导：

$$\begin{array}{rl}& z(x,y)=x^2+y^2–3x^4{y}^4\\ \\ \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial x}=2x+0–3y^4\cdot 4\cdot x^3\\ \\ \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial x}=2x–12y^4{x}^3\\ \\ \Rightarrow & \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=2–36y^4{x}^2\end{array}$$

又由于对原式 $z(x,y)$ $=$ $x^2$ $+$ $y^2$ $-$ $3x^4$ $y^4$ 而言，交换变量 $x$ 和变量 $y$ 的位置后，式子和原来相等，即：

$$\begin{array}{rl}z(x,y)=& x^2+y^2–3x^4{y}^4\\ z(y,x)=& y^2+x^2–3y^4{x}^4\\ =& x^2+y^2–3x^4{y}^4\end{array}$$

也就是说，函数 $z(x,y)$ 是关于直线 $y=x$ 对称的函数，根据“ 对 称 的 二 元 函 数 的 二 阶 偏 导 数 也 对 称 ”的原理，将 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$ 中的变量 $x$ 替换为变量 $y$ 就可以直接得到 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}$ 的表达式：

$$\begin{array}{rl}& \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=2–36y^4{x}^2\\ \\ \Rightarrow & \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=2–36x^4{y}^2\end{array}$$

§2.2 式子 ⟬B⟭ 求解

首先对 $z(x,y)$ 中的 $x$ 求二阶偏导：

$$\begin{array}{rl}& z(x,y)=\frac{x^2+y^2}{xy}\\ \\ \Rightarrow & z(x,y)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\\ \\ \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\\ \\ \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}+y\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}_x^{\prime }\\ \\ \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y}–\frac{y}{x^2}\\ \\ \Rightarrow & \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=-y\cdot {\left(\frac{1}{x^2}\right)}_x^{\prime }\\ \\ \Rightarrow & \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{2y}{x^3}\end{array}$$

同理，由于函数 $z(x,y)$ $=$ $\frac{x^2+y^2}{xy}$ 也关于 $y=x$ 对称：

$$\begin{array}{rl}z(x,y)=& \frac{x^2+y^2}{xy}\\ \\ z(y,x)=& \frac{y^2+x^2}{yx}\\ \\ =& \frac{x^2+y^2}{xy}\end{array}$$

所以：

$$\begin{array}{rl}& \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{2y}{x^3}\\ \\ \Rightarrow & \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{2x}{y^3}\end{array}$$

综上，对于 $z(x,y)$ $=$ $x^2$ $+$ $y^2$ $-$ $3x^4{y}^4$, 我们有：

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=2–36y^4{x}^2\\ \\ \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=2–36x^4{y}^2\end{array}$$

对于 $z(x,y)$ $=$ $\frac{x^2+y^2}{xy}$, 我们有：

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{2y}{x^3}\\ \\ \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{2x}{y^3}\end{array}$$

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