线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots
\end{aligned}
$$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

二、正文

我们知道，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 对应的矩阵如下：

$$
\boldsymbol{E} = \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \textcolor{orange}{1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{1}
\end{bmatrix}
$$

根据广泛的约定可知，$\boldsymbol{E}_{ij}$ 表示的就是把单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换位置，或者把单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 列于第 $j$ 列交换位置——这两种方法得到的矩阵是完全相同的。

为了接下来的表述方便，接下来的内容，我们用三阶单位矩阵表述：

$$
\boldsymbol{E} = \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{1} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{magenta}{1}
\end{bmatrix}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} = & \begin{bmatrix}
0 & \textcolor{orange}{1} & 0 \\
\textcolor{springgreen}{1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{magenta}{1}
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{E}_{23} = & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{1} \\
0 & \textcolor{magenta}{1} & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{E}_{31} = & \begin{bmatrix}
0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \\
0 & \textcolor{springgreen}{1} & 0 \\
\textcolor{magenta}{1} & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

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