线性代数中的 E12, E23 表示什么意思？

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\mathit{E}$ 的如下写法：

$$\begin{array}{r}{\mathit{E}}_{12}{\mathit{E}}_{23}{\mathit{E}}_{31}\cdots \end{array}$$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

二、正文

我们知道，单位矩阵 $\mathit{E}$ 对应的矩阵如下：

$$\mathit{E}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$

根据广泛的约定可知，${\mathit{E}}_{ij}$ 表示的就是把单位矩阵 $\mathit{E}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换位置，或者把单位矩阵 $\mathit{E}$ 的第 $i$ 列于第 $j$ 列交换位置——这两种方法得到的矩阵是完全相同的。

为了接下来的表述方便，接下来的内容，我们用三阶单位矩阵表述：

$$\mathit{E}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

于是：

$$\begin{array}{rl}{\mathit{E}}_{12}=& \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \\ {\mathit{E}}_{23}=& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\\ \\ {\mathit{E}}_{31}=& \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

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