自然常数 e 的那些事

自然常数的简介

一般情况下，我们使用字母 $\mathrm{e}$ 表示自然常数。自然常数有时候也被称为自然底数、欧拉数或者纳皮尔常数。

自然常数是一个无限不循环小数：

$\mathrm{e}$ $\simeq$ $2$ $.$ $7$ $1$ $8$ $2$ $8$ $1$ $8$ $2$ $8$ $4$ $5$ $9$ $0$ $4$ $5$ $2$ $3$ $5$ $3$ $6$ $0$ $2$ $8$ $7$ $4$ $7$ $1$ $3$ $5$ $2$ $6$ $6$ $2$ $4$ $9$ $7$ $7$ $5$ $7$ $2$ $4$ $7$ $0$ $9$ $3$ $6$ $9$ $9$ $9$ $5$ $9$ $5$ $7$ $4$ $9$ $6$ $6$ $9$ $6$ $7$ $6$ $2$ $7$ $7$ $2$ $4$ $0$ $7$ $6$ $6$ $3$ $0$ $3$ $5$ $3$ $5$ $4$ $7$ $5$ $9$ $4$ $5$ $7$ $1$ $3$ $8$ $2$ $1$ $7$ $8$ $5$ $2$ $5$ $1$ $6$ $6$ $4$ $2$ $7$ $4$ $2$ $7$ $4$ $6$ $\cdots$

此外，自然常数 $\mathrm{e}$ 还是人类历史上目前已知的第一个非刻意构造的获得验证的超越数。

自然常数的定义

首次对 $\mathrm{e}$ 进行定义的是数学家雅各布·伯努利，而他当初对 $\mathrm{e}$ 的定义式一直沿用至今，即：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^{x} = e
$$

上面这个式子表示的是将 $1$ 与无穷大相加，并自乘无穷多次。

当然，对于自然常数 $\mathrm{e}$ 还有一些等价定义式，其中一个比较特别的等价定义式是通过级数定义的：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e} \\ \\
= & \sum_{ n=0 }^{ \infty } \frac{1}{n!} \\ \\
= & \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots
\end{aligned}
$$

自然常数的计算

已知，当 $n > 0$ 时，有二项式定理为：

$$
( 1+x )^{n} = \sum_{ k=0 }^{n} C_{n}^{k} x^{k}
$$

于是，我们就可以得到关于 $\mathrm{e}$ 的计算方式：

$$
\begin{aligned}
e \\ \\
& = \lim _{ n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } \\ \\
& = \lim _{ n \rightarrow \infty } \sum _{ i = 0 } ^ { n } C _{ i } ^ { n } 1 ^ { n – i } \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { i } \\ \\
& = \lim \limits_{n\rightarrow \infty} \left[ C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^{0} + C_{1}^{n}1^{n−1}\left(\frac{1}{n}\right)^{1} + C_{2}^{n}1^{n−2}\left(\frac{1}{n}\right)^{2} + C_{3}^{n}1^{n−3}\left(\frac{1}{n}\right)^{3} + \cdots + C_{n}^{n}1^{0}\left(\frac{1}{n}\right) \right] \\ \\
& = \lim_{ n \rightarrow \infty } \left[ 1 \times 1 + n \times \frac{1}{n} + \frac{n!}{ (n-2)! 2! } \times \frac{1}{ n^{2} } + \frac{n!}{ (n-3)! 3! } \times \frac{1}{ n^{3} } + \ldots + 1 \times \frac{1}{ n^{ n } } \right] \\ \\
& = \lim_{ n \rightarrow \infty } \left[ 1 + 1 + \frac { n \times ( n-1 ) } { 2 n^{ 2 } } + \frac{ n \times ( n-1 )( n-2 ) }{ 3 \times 2 n^{3} } + \ldots + \frac{1}{ n^{n} } \right] \\ \\
& = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots \\ \\
& = 2 + 0.5 + 0.1666 \cdots + \cdots \\ \\
& = 2 . 7 1 8 2 8 \cdots
\end{aligned}
$$

自然常数的应用

欧拉的“宝石”

自然常数 $\mathrm{e}$、圆周率 $\pi$ 和虚数单位 $i$ 可以组成著名的“欧拉恒等式”，而这个恒等式不仅将 $\mathrm{e}$, $\pi$ 和 $i$ 结合了起来，还十分简洁，闪耀着数学深邃且优雅的光芒：

$$
\mathrm{e} ^{i \pi} + 1 = 0
$$

$\sqrt[x]{x}$ 的极大值

函数 $y$ $=$ $\sqrt[x]{x}$ 的极大值在 $x = e$ 处，如图 02 所示：

无穷连分数

$\mathrm{e}$ 的无穷连分数非常具有规律，由此也表明 $\mathrm{e}$ 的确是一个很特别的量：

$$
\mathrm{e} = 2 + \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{white}{\colorbox{green}{4}}+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{springgreen}{1}+\frac{1}{\textcolor{white}{\colorbox{green}{6}}+\frac{1}{1+\cdots}}}}}}}}}
$$

上面的连分式还可以表示为：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e} \\ \\
& = [2;1,2,\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{4}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{6}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{8}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{10}},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{springgreen}{1},\textcolor{white}{\colorbox{green}{12}},\ldots ]
\end{aligned}
$$

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