在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算

一、题目

难度评级：

二、解析

首先，本题涉及高阶无穷小，所以，我们首先利用泰勒展开或者等价无穷小对 $\cos x – 1$ 和 $1 – \sin x$ 进行转换：

$$
\begin{aligned}
\cos x – 1 & = \frac{- x ^{2}}{2} + o(x ^{3}) \\
1 – \sin x & = 1 – x + \frac{x ^{3}}{6} + o(x ^{3})
\end{aligned}
$$

于是，我们接下来只需要计算出 $\frac{\cos x – 1}{\sin x -1}$ 的值，就可以通过对次幂相同的项进行逐项对比的方式，求解出 $a$, $b$, $c$ 的值。

但是，如果按照上面的思路进行计算，我们就需要使用除法运算，而且是长除法——

一般来说，在运算的简便性上，除法不如乘法，因此，我们要先想办法将除法转换为乘法。

完整的计算步骤如下：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\cos x – 1}{1 – \sin x} = a x + b x ^{2} + c x ^{3} + o(x ^{3}) \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{\cos x – 1} = \left[ a x + b x ^{2} + c x ^{3} + o(x ^{3}) \right] \cdot \left[ \textcolor{tan}{1 – \sin x} \right] \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{ \frac{- x ^{2}}{2} + o(x ^{3}) } = \left[ a x + b x ^{2} + c x ^{3} + o(x ^{3}) \right] \cdot \left[ \textcolor{tan}{ 1 – x + \frac{x ^{3}}{6} + o(x ^{3}) } \right] \\ \\
\Rightarrow & \frac{- x ^{2}}{2} = \left[ \textcolor{white}{\colorbox{green}{a}} x + \textcolor{white}{\colorbox{blue}{b}} x ^{2} + \textcolor{white}{\colorbox{red}{c}} x ^{3} \right] \cdot \left[ 1 – x + \frac{x ^{3}}{6} \right] \\ \\
\Rightarrow & \frac{-x ^{2}}{2} = \textcolor{white}{\colorbox{green}{a}} x + (\textcolor{white}{\colorbox{blue}{b}} – \textcolor{white}{\colorbox{green}{a}} ) x ^{2} + (\textcolor{white}{\colorbox{red}{c}} – \textcolor{white}{\colorbox{blue}{b}} ) x ^{3} \\ \\
\Rightarrow & 0 \cdot x + \frac{-1}{2} \cdot x ^{2} + 0 \cdot x ^{3} = \textcolor{white}{\colorbox{green}{a}} x + (\textcolor{white}{\colorbox{blue}{b}} – \textcolor{white}{\colorbox{green}{a}} ) x ^{2} + (\textcolor{white}{\colorbox{red}{c}} – \textcolor{white}{\colorbox{blue}{b}} ) x ^{3} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{a}} = 0 \\
\textcolor{white}{\colorbox{blue}{b}} – \textcolor{white}{\colorbox{green}{a}} = \frac{-1}{2} \\
\textcolor{white}{\colorbox{red}{c}} – \textcolor{white}{\colorbox{blue}{b}} = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \begin{cases}
a = 0 \\
b = \frac{-1}{2} \\
c = \frac{1}{2}
\end{cases} }}
\end{aligned}
$$

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