在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算

一、题目

难度评级：

二、解析

首先，本题涉及高阶无穷小，所以，我们首先利用泰勒展开或者等价无穷小对 $\cos x–1$ 和 $1–\sin x$ 进行转换：

$$\begin{array}{rl}\cos x–1& =\frac{-x^2}{2}+o(x^3)\\ 1–\sin x& =1–x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\end{array}$$

于是，我们接下来只需要计算出 $\frac{\cos x–1}{\sin x-1}$ 的值，就可以通过对次幂相同的项进行逐项对比的方式，求解出 $a$, $b$, $c$ 的值。

但是，如果按照上面的思路进行计算，我们就需要使用除法运算，而且是长除法——

一般来说，在运算的简便性上，除法不如乘法，因此，我们要先想办法将除法转换为乘法。

完整的计算步骤如下：

$$\begin{array}{rl}& \frac{\cos x–1}{1–\sin x}=ax+b{x}^2+c{x}^3+o(x^3)\\ \\ \Rightarrow & \cos x–1=[ax+b{x}^2+c{x}^3+o(x^3)]\cdot \left[1–\sin x\right]\\ \\ \Rightarrow & \frac{-x^2}{2}+o(x^3)=[ax+b{x}^2+c{x}^3+o(x^3)]\cdot \left[1–x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right]\\ \\ \Rightarrow & \frac{-x^2}{2}=[\text{a}x+\text{b}{x}^2+\text{c}{x}^3]\cdot [1–x+\frac{x^3}{6}]\\ \\ \Rightarrow & \frac{-x^2}{2}=\text{a}x+(\text{b}–\text{a})x^2+(\text{c}–\text{b})x^3\\ \\ \Rightarrow & 0\cdot x+\frac{-1}{2}\cdot x^2+0\cdot x^3=\text{a}x+(\text{b}–\text{a})x^2+(\text{c}–\text{b})x^3\\ \\ \Rightarrow & \{\begin{array}{l}\text{a}=0\\ \text{b}–\text{a}=\frac{-1}{2}\\ \text{c}–\text{b}=0\end{array}\\ \\ \Rightarrow & \{\begin{array}{l}a=0\\ b=\frac{-1}{2}\\ c=\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$$

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