这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?

一、题目

若 $f (x)$ $+$ $\sin^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3 x) d x$ , 则：

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = ?$

难度评级：

二、解析

首先，令：

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = K$

接着，为了将已知式子中的积分 “ $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3x) d x$ ” 向未知式子中的积分 “ $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ ” 转换，我们可以设：

$\begin{aligned} t & = 3x \\ x & = \frac{1}{3} t \end{aligned}$

Tip

为啥要令 $t$ $=$ $3x$ 呢？
因为已知式子中的积分 “ $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3x) d x$ ” 中含有 “ $3 x$ ”, 且已知式子中的积分上限 “ $\frac{π}{6}$ ” 乘以 $3$ 刚好是要求解的积分中的积分上限 “ $\frac{π}{2}$ ”
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于是，当 $x \in (0, \frac{π}{6})$ 的时候，有：

$\begin{aligned} t \in (0, 3 \times \frac{π}{6}) \\ \Rightarrow & t \in (0, \frac{π}{2}) \end{aligned}$

于是：

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3 x) d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) d (\frac{1}{3} t) \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) d t \\ = \frac{1}{3} K \end{aligned}$

进而：

$\begin{aligned} f (x) + \sin^{6} x = \int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3 x) d x \\ \Rightarrow & f (x) + \sin^{6} x = \frac{1}{3} K \end{aligned}$

对上面的式子 $f (x)$ $+$ $\sin^{6} x$ $=$ $\frac{1}{3} K$ 两端同时做 $0$ 到 $\frac{π}{2}$ 的定积分，得：

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{6} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{3} K d x \\ \Rightarrow & K + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{6} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{3} K d x \\ \Rightarrow & K + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{6} x d x = \frac{π}{6} K \\ \Rightarrow & K + \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{6} K \\ \Rightarrow & K + \frac{5}{32} π = \frac{π}{6} K \\ \Rightarrow & (1 - \frac{π}{6}) K = \frac{- 5}{32} π \\ \Rightarrow & (\frac{π}{6} - 1) K = \frac{5}{32} π \\ \Rightarrow & K = \frac{\frac{5}{32} π}{\frac{π}{6} - 1} \\ \Rightarrow & K = \frac{15 π}{16 (π - 1)} \end{aligned}$