矩阵起源于方程组,因此也可以借助方程组的思想解题

一、题目题目 - 荒原之梦

已知矩阵 K = AK + B, 且:

A=[010110002]B=[112031]

K = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法一:使用逆矩阵解题

如果先不考虑矩阵的可逆性,那么,由 K = AK + B, 可得:

KAK=BEKAK=B(EA)K=BK=(EA)1B

所以,接下来我们要做的就是看看矩阵 EA 是否可逆。

由于:

EA=[100010001][010110002]=[110120001]

且:

|EA|=21=30

于是可知,矩阵 EA 可逆,即下式成立:

K=(EA)1B

又根据荒原之梦考研数学的《初等变换求逆法 – zhaokaifeng.com》可知:

(EAE)[110100120010001001][110100030110001001][110100030110001001][11010001013130001001][1002313001013130001001]

所以:

(EA)1=[2313013130001]

于是:

K=(EA)1B[2313013130001][112031][4323131331]

综上可知:

K=(α1,α2)=[4323131331]

方法二:使用方程组解题

由题目已知条件,可得:

K=AK+BKAK=B(EA)K=B

如果我们将 (EA)K = B 看作是一个方程组,那么,我们要求解的矩阵 K 其实就是这个方程组的未知数。

分析可知,KB 都是三行两列的矩阵,因此,如果我们设列向量 α1 = [x1x2x3], α2 = [y1y2y3], β1 = [123], β2 = [101], 且令:

K=(α1,α2)B=(β1,β2)

由于矩阵 B 是已知的,因此,要求解 (EA)K = B 中的矩阵 K, 其实就是分别求解下面两个方程组中的矩阵 α1α2:

(EA)α1=β1(EA)α2=β2

又因为:

EA=[110120001]

于是:

(EA)α1=β1[110120001][x1x2x3]=[123]

接着,有:

[110112020013]=[110103010013]=[1101010130013]=[10043010130013]

于是可知:

α1=[43133]

类似的:

(EA)α2=β2[110120001][y1y2y3]=[101]

接着,有:

[110112000011][110103010011][110103010011][1101010130011][10023010130011]

于是可知:

α2=[23131]

综上可知:

K=(α1,α2)=[4323131331]


荒原之梦考研数学思维导图
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