如何确定行列式展开式中有效项的个数？

一、题目

难度评级：

二、解析

§2.1 不一般的解法

首先，我们先来看看行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|$ 中有哪些可能非零的元素：

$$\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\mathbf{a}& \mathit{\text{0}}& \mathbf{b}& \mathit{\text{0}}\\ \mathit{\text{0}}& \mathbf{c}& \mathit{\text{0}}& \mathbf{d}\\ \mathbf{e}& \mathit{\text{0}}& \mathbf{f}& \mathit{\text{0}}\\ \mathit{\text{0}}& \mathbf{g}& \mathit{\text{0}}& \mathbf{h}\end{array}\right|$$

Note

题目并没有说行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|$ 中的元素 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$ 这八个元素都一定是非零元素，但是，由题目已知条件可知，除此之外的其他元素一定是零元素——所有零元素在行列式展开式中一定都是没有作用的，所以不用考虑。

zhaokaifeng.com

由于行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|$ 是一个四阶行列式，对于标准的四阶行列式，我们可以表示如下：

$$\left|\begin{array}{cccc}{\mathbf{a}}_{\mathbf{11}}& a_{12}& {\mathbf{a}}_{\mathbf{13}}& a_{14}\\ a_{21}& {\mathbf{a}}_{\mathbf{22}}& a_{23}& {\mathbf{a}}_{\mathbf{24}}\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{31}}& a_{32}& {\mathbf{a}}_{\mathbf{33}}& a_{34}\\ a_{41}& {\mathbf{a}}_{\mathbf{42}}& a_{43}& {\mathbf{a}}_{\mathbf{44}}\end{array}\right|$$

所以，我们实际要在该行列式的展开式中考虑的元素就是：

$$\begin{array}{rl}a& \iff a_{11}\\ b& \iff a_{13}\\ c& \iff a_{22}\\ d& \iff a_{24}\\ e& \iff a_{31}\\ f& \iff a_{33}\\ g& \iff a_{42}\\ h& \iff a_{44}\end{array}$$

我们知道，行列式展开式每个展开项中的元素都来自行列式的不同行不同列，但是，我们应该怎么在展开项中排列这些元素的先后顺序呢？

其实，根据荒原之梦考研数学的《如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？- zhaokaifeng.com》这篇文章可知，“先将展开项中的元素按照行下标 $1$ 到 $n$ 顺序排列并穷举对应的列下标”，与“行下标和列下标都穷举”，效果是一样的。

因此，如果我们对 $a$ 到 $h$ 这八个可能非零的元素的行下标先按照 $1$, $2$, $3$, $4$ 排列好，那么：

第 $1$ 行元素可以出的列为：$1$ 或 $3$;
第 $2$ 行元素可以出的列为：$2$ 或 $4$;
第 $3$ 行元素可以出的列为：$1$ 或 $3$;
第 $4$ 行元素可以出的列为：$2$ 或 $4$;

于是，在行下标按顺序排列的情况下，我们可以组合出来的全部列下标为（注意列下标不能重复）：

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cccc}\text{1}& & 3& \\ & 2& & \text{4}\\ 1& & \text{3}& \\ & \text{2}& & 4\end{array}\right)& \Rightarrow \text{1432}\\ \\ \left(\begin{array}{cccc}\text{1}& & 3& \\ & \text{2}& & 4\\ 1& & \text{3}& \\ & 2& & \text{4}\end{array}\right)& \Rightarrow \text{1234}\\ \\ \left(\begin{array}{cccc}1& & \text{3}& \\ & \text{2}& & 4\\ \text{1}& & 3& \\ & 2& & \text{4}\end{array}\right)& \Rightarrow \text{3214}\\ \\ \left(\begin{array}{cccc}1& & \text{3}& \\ & 2& & \text{4}\\ \text{1}& & 3& \\ & \text{2}& & 4\end{array}\right)& \Rightarrow \text{3412}\\ \end{array}$$

于是，根据行列式的标准展开计算公式 – zhaokaifeng.com，我们有：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|\\ \\ & =(-1{)}^{\tau \left(\text{1432}\right)}\cdot a_{1\text{1}}\cdot a_{2\text{4}}\cdot a_{3\text{3}}\cdot a_{4\text{2}}\\ & +(-1{)}^{\tau \left(\text{1234}\right)}\cdot a_{1\text{1}}\cdot a_{2\text{2}}\cdot a_{3\text{3}}\cdot a_{4\text{4}}\\ & +(-1{)}^{\tau \left(\text{3214}\right)}\cdot a_{1\text{3}}\cdot a_{2\text{2}}\cdot a_{3\text{1}}\cdot a_{4\text{4}}\\ & +(-1{)}^{\tau \left(\text{3412}\right)}\cdot a_{1\text{3}}\cdot a_{2\text{4}}\cdot a_{3\text{1}}\cdot a_{4\text{2}}\\ \\ & =(-1{)}^3\cdot a_{1\text{1}}\cdot a_{2\text{4}}\cdot a_{3\text{3}}\cdot a_{4\text{2}}\\ & +(-1{)}^0\cdot a_{1\text{1}}\cdot a_{2\text{2}}\cdot a_{3\text{3}}\cdot a_{4\text{4}}\\ & +(-1{)}^3\cdot a_{1\text{3}}\cdot a_{2\text{2}}\cdot a_{3\text{1}}\cdot a_{4\text{4}}\\ & +(-1{)}^4\cdot a_{1\text{3}}\cdot a_{2\text{4}}\cdot a_{3\text{1}}\cdot a_{4\text{2}}\\ \\ & =-a_{11}\cdot a_{24}\cdot a_{33}\cdot a_{42}\\ & +a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\\ & –a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}\cdot a_{44}\\ & +a_{13}\cdot a_{24}\cdot a_{31}\cdot a_{42}\\ \\ & =a_{11}{a}_{33}\left(a_{22}{a}_{44}–a_{24}{a}_{42}\right)\\ & +a_{13}{a}_{31}\left(a_{24}{a}_{42}–a_{22}{a}_{44}\right)\\ \\ & =\left(a_{22}{a}_{44}–a_{24}{a}_{42}\right)\left(a_{11}{a}_{33}–a_{13}{a}_{31}\right)\\ \\ & =\left(\mathit{c}\mathit{h}–\mathit{d}\mathit{g}\right)\left(\mathit{a}\mathit{f}–\mathit{b}\mathit{e}\right)\end{array}$$

附上前文中制作的对照表：

$\begin{array}{rlrl}a& \iff a_{11}& b& \iff a_{13}\\ c& \iff a_{22}& d& \iff a_{24}\\ e& \iff a_{31}& f& \iff a_{33}\\ g& \iff a_{42}& h& \iff a_{44}\end{array}$

§2.2 一般的解法

由于行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|$ 中的任意一行或者一列都只含有 $2$ 个两个非零元素，所以，我们可以随便挑选其中的一行或者一列，使用按行或者按列展开的方式将四阶行列式降为 $2$ 个三阶行列式，之后就可以继续降阶，或者直接利用三阶行列式的计算公式进行计算即可。

按第一行展开并直接按照三阶行列式计算：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cccc}a& 0& b& 0\\ 0& c& 0& d\\ e& 0& f& 0\\ 0& g& 0& h\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cccc}\text{a}& \text{0}& \text{b}& \text{0}\\ \text{0}& c& 0& d\\ \text{e}& 0& f& 0\\ \text{0}& g& 0& h\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cccc}\text{a}& \text{0}& \text{b}& \text{0}\\ 0& c& \text{0}& d\\ e& 0& \text{f}& 0\\ 0& g& \text{0}& h\end{array}\right|\\ \\ & =(-1{)}^{1+1}\cdot a\left|\begin{array}{ccc}c& 0& d\\ 0& f& 0\\ g& 0& h\end{array}\right|+(-1{)}^{1+3}\cdot b\left|\begin{array}{ccc}0& c& d\\ e& 0& 0\\ 0& g& h\end{array}\right|\\ \\ & =a\left[cfh–dfg\right]+b\left[dge–ceh\right]\\ \\ & =acfg–adfg+bdge–bceh\\ \\ & =afch–bech+bedg–afdg\\ \\ & =ch\left(af–be\right)+dg\left(be–af\right)\\ \\ & =\left(\mathit{c}\mathit{h}–\mathit{d}\mathit{g}\right)\left(\mathit{a}\mathit{f}–\mathit{b}\mathit{e}\right)\end{array}$$

Next

按第一行展开并降阶至二阶行列式计算：

$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cccc}a& 0& b& 0\\ 0& c& 0& d\\ e& 0& f& 0\\ 0& g& 0& h\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cccc}\text{a}& \text{0}& \text{b}& \text{0}\\ \text{0}& c& 0& d\\ \text{e}& 0& f& 0\\ \text{0}& g& 0& h\end{array}\right|\\ \\ & =\left|\begin{array}{cccc}\text{a}& \text{0}& \text{b}& \text{0}\\ 0& c& \text{0}& d\\ e& 0& \text{f}& 0\\ 0& g& \text{0}& h\end{array}\right|\\ \\ & =(-1{)}^{1+1}\cdot a\left|\begin{array}{ccc}c& 0& d\\ 0& f& 0\\ g& 0& h\end{array}\right|+(-1{)}^{1+3}\cdot b\left|\begin{array}{ccc}0& c& d\\ e& 0& 0\\ 0& g& h\end{array}\right|\\ \\ & =a\left|\begin{array}{ccc}c& 0& d\\ 0& f& 0\\ g& 0& h\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}0& c& d\\ e& 0& 0\\ 0& g& h\end{array}\right|\\ \\ & =a\left|\begin{array}{ccc}\text{c}& \text{0}& \text{d}\\ \text{0}& f& 0\\ \text{g}& 0& h\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}\text{0}& \text{c}& \text{d}\\ e& \text{0}& 0\\ 0& \text{g}& h\end{array}\right|\\ \\ & =a\left|\begin{array}{ccc}\text{c}& \text{0}& \text{d}\\ 0& f& \text{0}\\ g& 0& \text{h}\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}\text{0}& \text{c}& \text{d}\\ e& 0& \text{0}\\ 0& g& \text{h}\end{array}\right|\\ \\ & =(-1{)}^{1+1}ac\left|\begin{array}{cc}f& 0\\ 0& h\end{array}\right|+(-1{)}^{1+3}ad\left|\begin{array}{cc}0& f\\ g& 0\end{array}\right|\\ & +(-1{)}^{1+2}bc\left|\begin{array}{cc}e& 0\\ 0& h\end{array}\right|+(-1{)}^{1+3}bd\left|\begin{array}{cc}e& 0\\ 0& g\end{array}\right|\\ \\ & =acfh–adfg–bceh+bdeg\\ \\ & =afch–bech+bedg–afdg\\ \\ & =ch\left(af–be\right)+dg\left(be–af\right)\\ \\ & =\left(\mathit{c}\mathit{h}–\mathit{d}\mathit{g}\right)\left(\mathit{a}\mathit{f}–\mathit{b}\mathit{e}\right)\end{array}$$

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