2022考研数二第02题解析：更改积分次序、定积分中的变量替换

一、题目

难度评级：

二、解析

首先，根据 “${\int }_0^2\mathrm{d}x$” 可知，积分区域位于 $x=0$ 到 $x=2$ 之间；接着，根据 “${\int }_y^2\mathrm{d}y$” 可知，积分区域同时也位于 $x=y$ 到 $x=2$ 之间。于是，积分区域 $D$ 如图 01 阴影部分所示：

观察可知，如果按照现在的积分次序，我们可以对原积分式子做出如下变形：

$$\begin{array}{r}{\int }_0^2\mathrm{d}y{\int }_y^2\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^{2}y\mathrm{d}y{\int }_y^2\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x\\ \end{array}$$

对上面式子中的 “${\int }_y^2\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x$” 进行积分相当困难——

因此，我们尝试更改积分次序，从先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分，更改为先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分：

$${\int }_0^2\mathrm{d}y{\int }_y^2\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x={\int }_0^2\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}y$$

于是：

$$\begin{array}{r}{\int }_0^2\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}y\\ \\ & ={\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x{\int }_0^{x}y\mathrm{d}y\\ \\ & ={\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\cdot \left(\frac{1}{2}{y}^2{|}_0^x\right)\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^2\frac{x^2}{\mathbf{2}\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x\\ \\ & =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\int }_0^2\frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x\\ \\ & =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\cdot \frac{1}{3}\cdot {\mathbf{\int }}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}\mathbf{d}({\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1})\\ \\ & \underset{t\in (1,9)}{\overset{t=x^3+1}{=}}\frac{1}{6}{\int }_1^9\frac{1}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t\\ \\ & =\frac{1}{6}\cdot 2\cdot \sqrt{t}{|}_1^9\\ \\ & =\frac{1}{3}\cdot (3-1)\\ \\ & =\frac{2}{3}\end{array}$$

当然，对上面的 “${\mathbf{\int }}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}\mathbf{d}({\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1})$” 这个式子还可以有下面的计算方式：

$$\begin{array}{r}{\mathbf{\int }}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}\mathbf{d}({\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1})\\ \\ & ={\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\mathrm{d}\left(x^3\right)\\ \\ & \underset{t\in (0,8)}{\overset{t=x^3}{=}}{\int }_0^8\frac{1}{\sqrt{t+1}}\mathrm{d}t\\ \\ & =2\cdot \sqrt{t+1}{|}_0^8\\ \\ & =2(3-1)\\ \\ & =4\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 D