看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性

一、题目

已知 $A^{- 1} = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}]$ , 则：

$\begin{aligned} {(3 A^{*})}^{- 1} & = ? \\ {(2 A)}^{*} & = ? \end{aligned}$

难度评级：

二、解析

考研题目有时候不光考察考生的知识储备，还会利用心理的弱点，设置一些“坑”——

看完这道题目，大家首先想一个问题：题目所给的具体矩阵是 $A$ , 还是 $A^{- 1}$ ?

如果回答是 “ $A$ ”, 那么，这道题目大概率就会产生低级错误。而且，在下面的计算中，我们也很容易一不小心就陷入这个低级错误之中。

首先，根据 $A^{*}$ $=$ $| \begin{matrix} A \end{matrix} | A^{- 1}$ 可得：

$\begin{aligned} {(3 A^{*})}^{- 1} \\ = {(3 | \begin{array}{c} A \end{array} | \cdot A^{- 1})}^{- 1} \\ = \frac{1}{3 | \begin{array}{c} A \end{array} |} \cdot A \end{aligned}$

由于计算到上面这一步出现了两个矩阵 “ $A$ ”, 我们就会很容易觉得题目中所给的已知条件就是矩阵 “ $A$ ”, 但实际上，题目所给的已知条件是矩阵 $A$ 的逆矩阵 “ $A^{- 1}$ ”.

因此，我们首先需要根据求逆矩阵的方法求解出来矩阵 $A^{- 1}$ 的逆矩阵，也就是矩阵 $A$ :

$\begin{aligned} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & ⋮ & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & ⋮ & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & ⋮ & 0 & 0 & 1 \end{array}] & \Rightarrow \\ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & ⋮ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ⋮ & - 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & ⋮ & 0 & 0 & 1 \end{array}] & \Rightarrow \\ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & ⋮ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ⋮ & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ⋮ & 1 & - 2 & 1 \end{array}] & \Rightarrow \end{aligned}$

于是可知：

$A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix}]$

因此：

${(3 A^{*})}^{- 1} = \frac{1}{3} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix}]$

类似的，由于：

$\begin{aligned} {(2 A)}^{*} \\ = | \begin{array}{c} 2 A \end{array} | \cdot {(2 A)}^{- 1} \\ = 2^{3} \cdot \frac{1}{2} A^{- 1} \\ = 4 A^{- 1} \end{aligned}$