看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性

一、题目

难度评级：

二、解析

考研题目有时候不光考察考生的知识储备，还会利用心理的弱点，设置一些“坑”——

看完这道题目，大家首先想一个问题：题目所给的具体矩阵是 $\boldsymbol{A}$, 还是 $\boldsymbol{A} ^{-1}$ ?

如果回答是 “$\boldsymbol{A}$”, 那么，这道题目大概率就会产生低级错误。而且，在下面的计算中，我们也很容易一不小心就陷入这个低级错误之中。

首先，根据 $\boldsymbol{A} ^{*}$ $=$ $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \boldsymbol{A} ^{-1}$ 可得：

$$
\begin{aligned}
\left( 3 \boldsymbol{A} ^ {*} \right) ^ { – 1 } \\ \\
& = \left( 3 \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \cdot \boldsymbol{A} ^{-1} \right) ^{-1} \\ \\
& = \frac{1}{3 \begin{vmatrix} \boldsymbol{\textcolor{orangered}{A} } \end{vmatrix}} \cdot \boldsymbol{ \textcolor{orangered}{A} }
\end{aligned}
$$

由于计算到上面这一步出现了两个矩阵 “$\boldsymbol{A}$”, 我们就会很容易觉得题目中所给的已知条件就是矩阵 “$\boldsymbol{A}$”, 但实际上，题目所给的已知条件是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 “$\boldsymbol{A} ^{-1}$”.

因此，我们首先需要根据求逆矩阵的方法求解出来矩阵 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{A} ^{-1}}$ 的逆矩阵，也就是矩阵 $\textcolor{yellow}{\boldsymbol{A}}$:

$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{0} & \vdots & \textcolor{pink}{1} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{0} \\
\textcolor{orangered}{2} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} & \vdots & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{1} & \textcolor{pink}{0} \\
\textcolor{orangered}{3} & \textcolor{orangered}{2} & \textcolor{orangered}{1} & \vdots & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{1}
\end{bmatrix} & \Rightarrow \\ \\
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \vdots & -2 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} & \Rightarrow \\ \\
\begin{bmatrix}
\textcolor{pink}{1} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{0} & \vdots & \textcolor{yellow}{1} & \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{1} & \textcolor{pink}{0} & \vdots & \textcolor{yellow}{-2} & \textcolor{yellow}{1} & \textcolor{yellow}{0} \\
\textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{0} & \textcolor{pink}{1} & \vdots & \textcolor{yellow}{1} & \textcolor{yellow}{-2} & \textcolor{yellow}{1}
\end{bmatrix} & \Rightarrow
\end{aligned}
$$

于是可知：

$$
\textcolor{yellow}{
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
}
$$

因此：

$$
\textcolor{springgreen}{
\left( 3 \boldsymbol{A} ^ {*} \right) ^ { – 1 } = \frac { 1 } { 3 } \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \\
– 2 & 1 & 0 \\
1 & – 2 & 1
\end{bmatrix}
}
$$

类似的，由于：

$$
\begin{aligned}
\left( 2 \boldsymbol {A} \right) ^ {*} \\ \\
& = \begin{vmatrix} 2 \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \cdot \left( 2 \boldsymbol{A} \right) ^{-1} \\ \\
& = 2 ^{\boldsymbol{\textcolor{orangered}{3}}} \cdot \frac{1}{2} \boldsymbol{A} ^{-1} \\ \\
& = 4 \boldsymbol{A} ^{-1}
\end{aligned}
$$

Tip

需要注意的是，由于 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，所以 $\begin{vmatrix} 2 \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$ $=$ $2 ^{\boldsymbol{\textcolor{orangered}{3}}} \cdot \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$

zhaokaifeng.com

于是：

$$
\textcolor{springgreen}{
\left( 2 \boldsymbol {A} \right) ^ {*} = 4 \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
}
$$

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