当行列式中非零元素的个数小于行数或列数的时候，该行列式一定等于零

一、题目

[A]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $>$ $0$

[B]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $=$ $0$

[C]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $<$ $0$

[D]. $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ $\leqslant$ $0$

难度评级：

二、解析

根据荒原之梦考研数学的《$n$ 阶行列式的展开项有 $n!$ 个》可知，$6$ 阶行列式的展开式中一共有 $6!$ $=$ $720$ 项，每个项都由 $6$ 个元素相乘得到，但是，由于行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ 中仅有 $6 \times 6$ $-$ $31$ $=$ $5$ 个非零元素，且：

$$
\begin{aligned}
5 & < 6 \\
5 & < 720
\end{aligned}
$$

所以，在行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ 的展开式中，无论这 $5$ 个非零元素都在同一项中，还是分布在不同的项中，得到的项都一定得零，那么，既然行列式 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ 的展开式中所有的项都得零，也就一定有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = 0
}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

三、总结

通过本题，我们能得出这样一个结论，如果一个 $n$ 阶行列式中只含有小于 $n$ 个非零元素，那么，该行列式一定得零。

例如，对于 $2$ 阶行列式，如果只有一个非零元素 $1$, 那么，无论这个非零元素在哪里，由于 $1 < 2$, 所以，最终形成的行列式都得零（数字 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}$ 的下标用于标识当前行列式中所含的非零元素的总个数）：

$$
\begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{1} & 0 \\
0 & 0
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{1} \\
0 & 0
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & 0 \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{1} & 0
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{1}
\end{vmatrix} = \textcolor{orangered}{\boldsymbol{0}}
$$

但是，如果行列式中非零元素的个数等于或者大于行列式的列数或者说行数，那么，该行列式就可能得零，也可能不得零，例如（数字 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}$ 的下标用于标识当前行列式中所含的非零元素的总个数）：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{2} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{2} \\
0 & 0
\end{vmatrix} & = \textcolor{orangered}{\boldsymbol{0}} \\ \\
\begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{2} & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{2}
\end{vmatrix} & = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} \neq 0 \\ \\
\begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4} & 0 \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} & = \textcolor{orangered}{\boldsymbol{0}} \\ \\
\begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4} & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4} & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}_{4}
\end{vmatrix} & = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}} \neq 0
\end{aligned}
$$

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