n阶行列式的展开项有n!个

一、前言

一个 $n$ 阶行列式的展开式有多少项？在本文中，荒原之梦考研数学就通过实际计算和演示推理，给同学们讲明白，为什么 $n$ 阶行列式的展开式中有 $n!$ 个项。

二、正文

我们首先来看一下 $1$ 阶、$2$ 阶和 $3$ 阶行列式的展开式与对应的项数（一个括号内的是一项）：

$1$ 阶行列式：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
a_{1}
\end{vmatrix} \\
& = a_{1} \\
& \Rightarrow 1! = 1
\end{aligned}
$$

$2$ 阶行列式：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} \\
b_{1} & b_{2}
\end{vmatrix} \\
& = \left( a_{1} b_{2} \right) – \left( a_{2} b_{1} \right) \\
& \Rightarrow 2! = 2
\end{aligned}
$$

$3$ 阶行列式：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{vmatrix} \\
& = \left( a_{1} b_{2} c_{3} \right) + \left( a_{2} b_{3} c_{1} \right) + \left( a_{3} b_{1} c_{2} \right) \\
& – \left( a_{3} b_{2} c_{1} \right) – \left( a_{2} b_{1} c_{3} \right) – \left( a_{1} b_{3} c_{2} \right) \\
& \Rightarrow 3! = 6
\end{aligned}
$$

其实，从上面的式子就可以归纳总结出，$n$ 阶行列式的展开式有 $n!$ 项，接下来的计算是为了对此做进一步的阐述。

由上面的计算可以看到，行列式展开式中的每一项中所包含的元素都来自不同的行和不同的列，或者说，对 $n$ 阶行列式的展开就是从 $n$ 行中选取 $n$ 个元素相乘组成一个“项”，且这 $n$ 个元素必须来自不同的列。

那么，对于 $n$ 阶行列式的第 $1$ 行来说，有 $n$ 个元素可以选、第 $2$ 行有 $n-1$ 个元素可以选，第 $3$ 行有 $n-2$ 个元素可以选，以此类推，第 $n$ 行就只有 $1$ 个元素可以选，所以，最终得到的全部可能的组合，或者说项数就是：

$$
n \cdot \left( n-1 \right) \cdot \left( n-2 \right) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 = n!
$$

比如，对于 $3$ 阶行列式，如果我们用 “$\textcolor{springgreen}{\square}$” 表示当前行中可选的元素，用 “$\textcolor{orangered}{\boxtimes}$” 表示当前行中不可选的元素，用 “$\textcolor{gray}{\square}$” 表示其他不在当前行选择范围内（其他行）的元素，则：

第 $1$ 行有 $3$ 个元素可以选：

$$
\begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{\square} & \textcolor{springgreen}{\square} & \textcolor{springgreen}{\square} \\
\textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} \\
\textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square}
\end{vmatrix}
$$

则第 $2$ 行有 $2$ 个元素可以选（假设上一步我们选了第 $1$ 行第 $1$ 个元素）：

$$
\begin{vmatrix}
\textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} \\
\textcolor{orangered}{\boxtimes} & \textcolor{springgreen}{\square} & \textcolor{springgreen}{\square} \\
\textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square}
\end{vmatrix}
$$

则第 $3$ 行有 $1$ 个元素可以选（假设上一步我们选了第 $2$ 行第 $1$ 个元素）：

$$
\begin{vmatrix}
\textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} \\
\textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} & \textcolor{gray}{\square} \\
\textcolor{orangered}{\boxtimes} & \textcolor{orangered}{\boxtimes} & \textcolor{springgreen}{\square}
\end{vmatrix}
$$

从上面的演示可以看出来，$3$ 阶行列式的展开式中一共有 $3!$ 个项，继续推广可知，$n$ 阶行列式的展开式一共有 $n!$ 个项

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