转置运算可以用来引入矩阵乘法

一、题目

难度评级：

二、解析

由于 $A$ 是正交矩阵，所以：

$$
A A ^{\top} = A ^{\top} A = E
$$

又因为 $\textcolor{orangered}{|A|}$ $\textcolor{orangered}{=}$ $\textcolor{orangered}{1}$, 而且矩阵乘法越多越有利于解题，所以，可以利用转置运算引入矩阵乘法：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } |} \\ \\
& = \left| \boldsymbol { A } \boldsymbol { A } ^ { \top } – \boldsymbol { A } \right| \\ \\
& = \left| \boldsymbol { A } \left( \boldsymbol { A } ^ { \top } – \boldsymbol { E } \right) \right| \\ \\
& = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } |} \cdot \left| \boldsymbol { A } ^ { \top } – \boldsymbol { E } \right| \\ \\
& = \textcolor{orangered}{1} \cdot \left| \boldsymbol { A } ^ { \top } – \boldsymbol { E } \right| \\ \\
& = \textcolor{pink}{\left| \boldsymbol { A } ^ { \top } – \boldsymbol { E } \right| }
\end{aligned}
$$

又因为 $E ^{\top}$ $=$ $E$, 且转置运算不会改变行列式的值，所以：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } |} = \textcolor{pink}{\left| \boldsymbol { A } ^ { \top } – \boldsymbol { E } \right| } \\ \\
& = | ( \boldsymbol { A } – \boldsymbol { E } ) ^ { \top } | \\ \\
& = \textcolor{yellow}{| \boldsymbol { A } – \boldsymbol { E } |}
\end{aligned}
$$

由于 $n$ 是奇数，又根据「荒原之梦考研数学网」的《行列式 $|A-B|$ 和 $|B-A|$ 有什么关系》这篇文章可知：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } |} = \textcolor{yellow}{| \boldsymbol { A } – \boldsymbol { E } |} \\ \\
& = ( – 1 ) ^ { n } | \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } | \\ \\
& = \textcolor{tan}{ – | \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } | }
\end{aligned}
$$

即：

$$
|E – A| = – |E-A|
$$

所以：

$$
\textcolor{green}{\boldsymbol{
| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } | = 0
}}
$$

---