泰勒定理的展开点及附近邻域内被展开点的情况（图示）

一、前言

我们知道，泰勒公式不仅能近似表示某个展开点处的函数情况，还能够近似表示该展开点周围一定范围内的被展开点的处的函数情况（相关文章可以参考这里）。

那么，在本文中，荒原之梦考研数学将通过比较函数 $f(x)$ $=$ $e ^{x}$ 在 $x = 0$ 处的原函数与泰勒展开式所构成的函数，用图示的方法让大家更直观清晰的理解泰勒定理中展开点与被展开点的情况。

正文

首先，根据泰勒公式，函数 $f(x)$ $=$ $e ^{x}$ 在 $x = 0$ 处的展开式为：

$$
\begin{aligned}
f(x) \\ \\
& = e ^{0} + \frac{e ^{0}}{1!} \cdot x + \frac{e ^{0}}{2!} \cdot x ^{2} + \frac{e ^{0}}{3!} \cdot x ^{3} + \frac{e ^{0}}{4!} + \cdots \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ 1 + x + \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{1}{6} x ^{3} + \frac{1}{24} x ^{4} \cdots }
\end{aligned}
$$

于是：

• $f(x)$ 与其在 $x = 0$ 处的 零阶 泰勒展开

• $f(x)$ 与其在 $x = 0$ 处的 一阶 泰勒展开

• $f(x)$ 与其在 $x = 0$ 处的 二阶 泰勒展开

• $f(x)$ 与其在 $x = 0$ 处的 三阶 泰勒展开

• $f(x)$ 与其在 $x = 0$ 处的 四阶 泰勒展开

通过上面的示意图我们可以很明显的看出来，在泰勒展开点 $x = 0$ 的左右邻域内，随着泰勒展开式阶数的增加，近似拟合的效果也在加强。

当然，在距离泰勒展开点较远的地方，拟合效果会变差，并且随着距离泰勒展开点的距离增加，近似拟合效果会产生“断崖式”变化。

好啦，通过本文，大家可以对泰勒定理的近似拟合效果有一个更加直观清晰的认识，这也有利于加强我们在应用该定理做题时候的把握，增加做题的信心

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