一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知,$A$, $B$ 为 $n$ 阶方阵,且满足 $A B$ $=$ $O$, 则下列选项正确的是哪个?
(A) $A=O$ 或 $B=O$
(B ) $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$
(C) $A + B = O$
(D) $|A| + |B| = 0$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
根据荒原之梦考研数学的文章《由矩阵 AB = O 可以推出的一些结论》,我们可以很容易的判断出来,本题正确选项为 B.
但是,如果我们刚刚接触到涉及 $AB = O$ 的这类题目,该怎么记住相关的公式呢?
其实,对于这类题目的总结,以及相关结论的记忆,我们可以通过列举一些简单的例子的方式进行——这也是荒原之梦考研数学一直在推荐的方法,那就是一切以考研实战为指向,只要能做题,能得分,就是好方法,没必要一定要进行严格的理论推理,也没必要字斟句酌。
好啦,下面就是我们要举的例子。
经过简单的观察即可发现,下面的矩阵都符合 $AB = O$ 这一结论,同时,下面的矩阵所具有的共同特征就是 $|A| = 0$ 或者 $|B| = 0$, 也就是本题中的 B 选项,其余的 A, C, D 选项只是适用于某些例子的特殊情况而已:
- 满足 B, D 选项的例子:
$$
\begin{bmatrix}
1 & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
3 & 4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix}
$$
- 满足 B, A, D 选项的例子:
$$
\begin{bmatrix}
1 & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix}
$$
$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
3 & 4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix}
$$
- 满足 B, C 选项的例子:
$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0}
\end{bmatrix}
$$
综上可知,本 题 应 选 B