这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来

一、题目

[A]. $(a,f(a))$ 是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点

[B]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极小值

[C]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极大值

[D]. $f^{\prime }(a)$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的极大值

难度评级：

二、解析

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在真实考试中，对于这类选择题，建议大家优先选用下面的“快速的画图解法”；
在平时的练习中，建议大家还是要掌握下面“繁琐的标准解法”，这样能加深对基础概念的理解，同时也可以成为考场上解题的 “Plan B”.

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1. 快速的画图解法

由题可知：

$$f^{\prime \prime \prime }(a)>0$$

也就是说，$f^{\prime \prime }(a)$ 的一阶导大于零，那么，$f^{\prime \prime }(a)$ 在 $x=a$ 的左右邻域内一定单调递增。又因为 $f^{\prime \prime }(a)$ $=$ $0$, 所以，我们可以绘制出关于 $f^{\prime \prime }(a)$ 在 $x=a$ 左右邻域内如图 01 所示的图象示意图：

又因为当 $x<a$ 时，$f^{\prime \prime }(a)$ $<$ $0$, 当 $x>a$ 时，$f^{\prime \prime }(a)$ $>$ $0$, 所以，$f^{\prime }(a)$ 在 $x=a$ 左右邻域内一定是一个凹“函数”。又因为 $f^{\prime }(a)$ $=$ $0$, 所以，$f^{\prime }(a)$ 在 $x=a$ 左右邻域内的图像示意图如图 02 所示：

接着，根据图 02 可知，$f^{\prime }(a)$ $>$ $0$, 所以，$f(a)$ 在 $x=a$ 左右邻域内一定单调递增。

又因为，当 $x<a$ 的时候，$f^{\prime \prime }(a)$ $<$ $0$, 当 $x>a$ 的时候，$f^{\prime \prime }(a)$ $>$ $0$, 所以，$f(x)$ 在 $x=a$ 的左邻域内是“凸”的，在 $x=a$ 的右邻域内是“凹”的，即 $f(x)$ 在 $x=a$ 左右邻域内的图象如图 03 所示：

于是，根据图 03 可知，$f(a)$ 是 $f(x)$ 的拐点，[A] 选项正确；但 $f(a)$ 既不是 $f(x)$ 的极大值点，也不是 $f(x)$ 的极小值点，所以 [B] 和 [C] 选项错误。

又根据图 02 可知，$f^{\prime }(a)$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的极小值点，而非极大值点，因此，[D] 选项错误。

综上可知，本 题 应 选 A

2. 繁琐的标准解法

第 01 步

由题目已知条件，根据泰勒定理可知，$f(x)$ 在 $x=a$ 处的展开式如下：

$$f(x)=f\left(a\right)+0+0+\frac{1}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(a\right){\left(x–a\right)}^3+o\left[{\left(x–a\right)}^3\right]$$

于是：

$$f(x)–f\left(a\right)=\frac{1}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(a\right){\left(x–a\right)}^3\Rightarrow$$

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)–f\left(a\right)}{{\left(x–a\right)}^3}=\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{3!}>0$$

于是，由极限保号性可知，一定存在 ${\delta }_1$ $>$ $0$, 使得当 $a$ $<$ $x$ $<$ $a+{\delta }_1$ 的时候，下式成立：

$$\begin{array}{rl}\frac{f(x)–f\left(a\right)}{{\left(x–a\right)}^3}& >0\\ \\ f(x)& >f\left(a\right)\end{array}$$

同时，使得当 $a$ $-$ ${\delta }_1$ $<$ $x$ $<a$ 的时候，下式成立：

$$\begin{array}{rl}\frac{f(x)–f\left(a\right)}{{\left(x–a\right)}^3}& >0\\ \\ f(x)& <f\left(a\right)\end{array}$$

由于 $f(x_{a^{+}})$ $>$ $f\left(a\right)$, $f(x_{a^{-}})$ $<$ $f\left(a\right)$, 所以 $f\left(a\right)$ 不是 $f(x)$ 的极值，[B] 选项和 [C] 选项都错误。

第 02 步

同样根据泰勒定理，可知：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)\\ \\ & =f^{\prime }(a)+f^{\prime \prime }(a)(x–a)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(a\right){\left(x–a\right)}^2+o\left({\left(x–a\right)}^2\right)\\ \\ & =0+0+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(a\right){\left(x–a\right)}^2+o\left({\left(x–a\right)}^2\right)\\ \\ & =\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(a\right){\left(x–a\right)}^2+o\left({\left(x–a\right)}^2\right)\end{array}$$

于是：

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}}{{\left(x–a\right)}^2}=\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{2!}>0$$

且由于一定有：

$${\left(x–a\right)}^2>0$$

所以，同样由极限的保号性可知，一定存在 ${\delta }_2>0$, 使得当 $0$ $<$ $\left|x–a\right|$ $<$ ${\delta }_2$ 时，下式成立：

$$f^{\prime }(x)>0$$

又因为 $f^{\prime }\left(a\right)$ $=$ $0$, 所以 $f^{\prime }\left(a\right)$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的极小值，[D] 选项错误。

Tip

需要注意的是，下面这种计算方式对这一步的解题是没有什么帮助的，因为，求解出来的是 $f^{\prime }(a)$ 和 $\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{3!}$ 之间的关系，而不是 $f^{\prime }(x)$ 和 $\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{3!}$ 之间的关系：

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)–f\left(a\right)}{{\left(x–a\right)}^3}=\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{3!}>0\\ \\ & \Rightarrow \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)–f\left(a\right)}{\left(x–a\right)}\cdot \frac{1}{{\left(x–a\right)}^2}=\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{3!}>0\\ \\ & \Rightarrow \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)–f\left(a\right)}{\left(x–a\right)}\cdot \frac{1}{{\left(x–a\right)}^2}=\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{3!}>0\\ \\ & \Rightarrow \underset{x\to a}{lim}\frac{{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}}{{\left(x–a\right)}^2}=\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)}{3!}>0\end{array}$

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第 03 步

由于到这里我们已经排除了 [B], [C], [D] 三个选项，所以，[A] 选项一定正确。

接下来我们就来看看 [A] 选项为什么正确：

由 $f^{\prime \prime \prime }\left(a\right)$ $>$ $0$ 可知：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime \prime \prime }\left(a\right)\\ \\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)–f^{\prime \prime }\left(a\right)}{x–a}\\ \\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)–0}{x–a}\\ \\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x–a}>0\end{array}$$

于是可知，一定存在 ${\delta }_3>0$, 使得当 $a$ $<$ $x$ $<$ $a+{\delta }_3$ 时，下式成立：

$$f^{\prime \prime }(x)>0$$

同时，使得当 $a–{\delta }_3$ $<$ $x$ $<$ $a$ 时，下式成立：

$$f^{\prime \prime }(x)<0$$

由于二阶导的正负发生改变的点一定是拐点，所以 $(a,f\left(a\right))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

综上可知，本 题 应 选 A

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