这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来

一、题目

[A]. $(a, f(a))$ 是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点

[B]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极小值

[C]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极大值

[D]. $f ^{\prime} (a)$ 是 $f ^{\prime} (x)$ 的极大值

难度评级：

二、解析

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在真实考试中，对于这类选择题，建议大家优先选用下面的“快速的画图解法”；
在平时的练习中，建议大家还是要掌握下面“繁琐的标准解法”，这样能加深对基础概念的理解，同时也可以成为考场上解题的 “Plan B”.

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1. 快速的画图解法

由题可知：

$$
f ^{\prime \prime \prime} (a) > 0
$$

也就是说，$f ^{\prime \prime} (a)$ 的一阶导大于零，那么，$f ^{\prime \prime} (a)$ 在 $x = a$ 的左右邻域内一定单调递增。又因为 $f ^{\prime \prime} (a)$ $=$ $0$, 所以，我们可以绘制出关于 $f ^{\prime \prime} (a)$ 在 $x = a$ 左右邻域内如图 01 所示的图象示意图：

又因为当 $x < a$ 时，$f ^{\prime \prime} (a)$ $<$ $0$, 当 $x > a$ 时，$f ^{\prime \prime} (a)$ $>$ $0$, 所以，$f ^{\prime} (a)$ 在 $x = a$ 左右邻域内一定是一个凹“函数”。又因为 $f ^{\prime} (a)$ $=$ $0$, 所以，$f ^{\prime} (a)$ 在 $x = a$ 左右邻域内的图像示意图如图 02 所示：

接着，根据图 02 可知，$f ^{\prime} (a)$ $>$ $0$, 所以，$f(a)$ 在 $x = a$ 左右邻域内一定单调递增。

又因为，当 $x < a$ 的时候，$f ^{\prime \prime} (a)$ $<$ $0$, 当 $x > a$ 的时候，$f ^{\prime \prime} (a)$ $>$ $0$, 所以，$f(x)$ 在 $x = a$ 的左邻域内是“凸”的，在 $x = a$ 的右邻域内是“凹”的，即 $f(x)$ 在 $x = a$ 左右邻域内的图象如图 03 所示：

于是，根据图 03 可知，$f(a)$ 是 $f(x)$ 的拐点，[A] 选项正确；但 $f(a)$ 既不是 $f(x)$ 的极大值点，也不是 $f(x)$ 的极小值点，所以 [B] 和 [C] 选项错误。

又根据图 02 可知，$f ^{\prime} (a)$ 是 $f ^{\prime} (x)$ 的极小值点，而非极大值点，因此，[D] 选项错误。

综上可知，本 题 应 选 A

2. 繁琐的标准解法

第 01 步

由题目已知条件，根据泰勒定理可知，$f(x)$ 在 $x = a$ 处的展开式如下：

$$
f ( x ) = f \left( a \right) + 0 + 0 + \frac { 1 } { 3 ! } f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) \left( x – a \right) ^ { 3 } + o \left[ \left( x – a \right) ^ { 3 } \right]
$$

于是：

$$
f ( x ) – f \left( a \right) = \frac { 1 } { 3 ! } f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) \left( x – a \right) ^ { 3 } \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
\lim _{ x \rightarrow a } \frac { f ( x ) – f \left( a \right) } { \left( x – a \right) ^ { 3 } } = \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 3 ! } > 0
}
$$

于是，由极限保号性可知，一定存在 $\delta _{ 1 }$ $>$ $0$, 使得当 $a$ $<$ $x$ $<$ $a + \delta _{ 1 }$ 的时候，下式成立：

$$
\begin{aligned}
\frac { f ( x ) – f \left( a \right) } { \left( x – a \right) ^ { 3 } } & > 0 \\ \\
f ( x ) & > f \left( a \right)
\end{aligned}
$$

同时，使得当 $a$ $-$ $\delta _{ 1 }$ $<$ $x$ $< a$ 的时候，下式成立：

$$
\begin{aligned}
\frac { f ( x ) – f \left( a \right) } { \left( x – a \right) ^ { 3 } } & > 0 \\ \\
f ( x ) & < f \left( a \right)
\end{aligned}
$$

由于 $f ( x_{a^{+}} )$ $>$ $f \left( a \right)$, $f ( x_{a^{-}} )$ $<$ $f \left( a \right)$, 所以 $f \left( a \right)$ 不是 $f ( x )$ 的极值，[B] 选项和 [C] 选项都错误。

第 02 步

同样根据泰勒定理，可知：

$$
\begin{aligned}
f ^ { \prime } ( x ) \\ \\
& = f ^{\prime} (a) + f ^{\prime \prime} (a) (x – a) + \frac { 1 } { 2 ! } f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) \left( x – a \right) ^ { 2 } + o \left( \left( x – a \right) ^ { 2 } \right) \\ \\
& = 0 + 0 + \frac { 1 } { 2 ! } f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) \left( x – a \right) ^ { 2 } + o \left( \left( x – a \right) ^ { 2 } \right) \\ \\
& = \frac { 1 } { 2 ! } f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) \left( x – a \right) ^ { 2 } + o \left( \left( x – a \right) ^ { 2 } \right)
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\lim _{ x \rightarrow a } \frac { \textcolor{orangered}{ \boldsymbol{ f ^ { \prime } ( x ) }} } { \left( x – a \right) ^ { 2 } } = \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 2 ! } > 0
$$

且由于一定有：

$$
\left( x – a \right) ^{2} > 0
$$

所以，同样由极限的保号性可知，一定存在 $\delta _{ 2 } > 0$, 使得当 $0$ $<$ $\left| x – a \right|$ $<$ $\delta _{ 2 }$ 时，下式成立：

$$
f ^ { \prime } ( x ) > 0
$$

又因为 $f ^ { \prime } \left( a \right)$ $=$ $0$, 所以 $f ^ { \prime } \left( a \right)$ 是 $f ^ { \prime } ( x )$ 的极小值，[D] 选项错误。

Tip

需要注意的是，下面这种计算方式对这一步的解题是没有什么帮助的，因为，求解出来的是 $f ^{\prime} ( \textcolor{red}{ a })$ 和 $\frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 3 ! }$ 之间的关系，而不是 $f ^{\prime} ( \textcolor{blue}{x} )$ 和 $\frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 3 ! }$ 之间的关系：

$\begin{aligned}
& \lim _{ x \rightarrow a } \frac { f ( x ) – f \left( a \right) } { \left( x – a \right) ^ { 3 } } = \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 3 ! } > 0 \\ \\
& \Rightarrow \lim _{ x \rightarrow a } \frac { f ( x ) – f \left( a \right) } { \left( x – a \right) } \cdot \frac{1}{\left( x – a \right) ^{2}} = \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 3 ! } > 0 \\ \\
& \Rightarrow \lim _{ x \rightarrow a } \frac { f ( x ) – f \left( a \right) } { \left( x – a \right) } \cdot \frac{1}{\left( x – a \right) ^{2}} = \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 3 ! } > 0 \\ \\
& \Rightarrow \lim _{ x \rightarrow a } \frac{ \textcolor{red}{ \boldsymbol{ f ^{\prime} (a) } } }{\left( x – a \right) ^{2}} = \frac { f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) } { 3 ! } > 0
\end{aligned}$

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第 03 步

由于到这里我们已经排除了 [B], [C], [D] 三个选项，所以，[A] 选项一定正确。

接下来我们就来看看 [A] 选项为什么正确：

由 $f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right)$ $>$ $0$ 可知：

$$
\begin{aligned}
f ^ { \prime \prime \prime } \left( a \right) \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) – f ^ { \prime \prime } \left( a \right) } { x – a } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) – 0 } { x – a } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow a } \frac { f ^ { \prime \prime } ( x ) } { x – a } > 0
\end{aligned}
$$

于是可知，一定存在 $\delta _{ 3 } > 0$, 使得当 $a$ $<$ $x$ $<$ $a + \delta _{ 3 }$ 时，下式成立：

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) > 0
$$

同时，使得当 $a – \delta _{ 3 }$ $<$ $x$ $<$ $a$ 时，下式成立：

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) < 0
$$

由于二阶导的正负发生改变的点一定是拐点，所以 $\left( a , f \left( a \right) \right)$ 是曲线 $y = f ( x )$ 的拐点。

综上可知，本 题 应 选 A

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