沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式

一、前言

如图所示，一个长度为 $L$ 的梯子斜放在墙面上并开始按照图中箭头所示的方向滑动，在时刻 $t$, 该梯子下端的水平滑动速度为 $v_{t}$, 垂直滑动速度为 $v_{y}$, 请求出 $v_{t}$ 与 $v_{y}$ 满足的关系等式。

二、正文

由图 01 可知，在时刻 $t$ 的时候，长度为 $L$ 的梯子在水平方向上移动的距离为 $x$, 在垂直方向上移动的距离为 $y$, 由于这个移动距离的变量是时间 $t$, 所以，我们可以认为 $x$ 和 $y$ 都是时间 $t$ 的函数，即：

$$
\begin{aligned}
x(t) \
y(t)
\end{aligned}
$$

所以，根据勾股定理可得：

$$
x ^{ 2 } (t) + y ^{ 2 } (t) = L ^{ 2 } \tag{1}
$$

在 $(1)$ 式等号两端同时对 $t$ 求导，可得：

$$
\begin{aligned}
2x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 0 \\ \\
& \Rightarrow 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = – 2x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\ \\
& \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{-2x}{2y} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\ \\
& \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{-x}{y} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}
\end{aligned}
$$

由于 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ 表示的就是梯子上端沿墙面下滑时的速度 $v_{y}$, $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ 表示的就是梯子下端沿地面下滑时的速度 $v_{x}$, 所以：

$$
v_{y} = \frac{-x}{y} \cdot v_{x}
$$

当然，一般情况下，我们认为速度值都是正数，所以，如果已知 $v_{x}$, 要求解 $v_{y}$ 的话，我们一般使用下面这个公式：

$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
v_{y} = \frac{x}{y} \cdot v_{x}
}
}
$$

相关例题

[1]. 微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题

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