沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式

一、前言

如图所示，一个长度为 $L$ 的梯子斜放在墙面上并开始按照图中箭头所示的方向滑动，在时刻 $t$, 该梯子下端的水平滑动速度为 $v_t$, 垂直滑动速度为 $v_y$, 请求出 $v_t$ 与 $v_y$ 满足的关系等式。

二、正文

由图 01 可知，在时刻 $t$ 的时候，长度为 $L$ 的梯子在水平方向上移动的距离为 $x$, 在垂直方向上移动的距离为 $y$, 由于这个移动距离的变量是时间 $t$, 所以，我们可以认为 $x$ 和 $y$ 都是时间 $t$ 的函数，即：

$$\begin{array}{r}x(t)y(t)\end{array}$$

所以，根据勾股定理可得：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x^2(t)+y^2(t)=L^2\end{array}$$

在 $(1)$ 式等号两端同时对 $t$ 求导，可得：

$$\begin{array}{r}2x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0\\ \\ & \Rightarrow 2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=–2x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{-2x}{2y}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ \\ & \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{-x}{y}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\end{array}$$

由于 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 表示的就是梯子上端沿墙面下滑时的速度 $v_y$, $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 表示的就是梯子下端沿地面下滑时的速度 $v_x$, 所以：

$$v_y=\frac{-x}{y}\cdot v_x$$

当然，一般情况下，我们认为速度值都是正数，所以，如果已知 $v_x$, 要求解 $v_y$ 的话，我们一般使用下面这个公式：

$${\mathit{v}}_{\mathit{y}}\mathbf{=}\frac{\mathit{x}}{\mathit{y}}\mathbf{\cdot }{\mathit{v}}_{\mathit{x}}$$

相关例题

[1]. 微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题

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