一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知 $\boldsymbol { A }$ 和 $\boldsymbol { B }$ 都是 $n \times n$ 矩阵,则必有:
(A) $| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$
(B) $| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |$
(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$
(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$ $=$ $\boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 }$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
$\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 均为 $n$ 阶方阵,于是:
$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |} = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |}
$$
$$
| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } | = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |} = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |}
$$
即:
$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = | \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |
$$
因此可知,矩阵对应的行列式满足交换律,B 选 项 正 确 。
且根据前面的分析可知,矩阵本身不满足交换律,C 选 项 不 正 确 。
对于 A 选项,我们可以设:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { A } & = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol { B } & = \begin{bmatrix}
– 1 & – 2 \\ – 3 & – 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
于是有:
$$
| \boldsymbol { A } | = | \boldsymbol { B } | = – 2
$$
但是:
$$
| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } | = 0 \neq -4
$$
所以 A 选 项 不 正 确。
同时,由于 $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $- 2$ $\neq$ $0$, 所以矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和矩阵 $\boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{ A }^{-1}$ 和 $\boldsymbol{ B }^{-1}$ 均存在。
但是,由于 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ $=$ $0$, 因此,矩阵 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $(\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B })^{-1}$ 不存在,即 D 选 项 不 正 确 。
综上可知,本 题 应 选 B
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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