矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

(A) $| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$

(B) $| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |$

(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$

(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$ $=$ $\boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 }$

难度评级：

二、解析

$\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 均为 $n$ 阶方阵，于是：

$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |} = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |}
$$

$$
| \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } | = \textcolor{springgreen}{| \boldsymbol { B } | \cdot | \boldsymbol { A } |} = \textcolor{orangered}{| \boldsymbol { A } | \cdot | \boldsymbol { B } |}
$$

即：

$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = | \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } |
$$

因此可知，矩阵对应的行列式满足交换律，B 选 项 正 确 。

且根据前面的分析可知，矩阵本身不满足交换律，C 选 项 不 正 确 。

对于 A 选项，我们可以设：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { A } & = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol { B } & = \begin{bmatrix}
– 1 & – 2 \\ – 3 & – 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

于是有：

$$
| \boldsymbol { A } | = | \boldsymbol { B } | = – 2
$$

但是：

$$
| \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } | = 0 \neq -4
$$

所以 A 选 项 不 正 确。

同时，由于 $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $- 2$ $\neq$ $0$, 所以矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和矩阵 $\boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{ A }^{-1}$ 和 $\boldsymbol{ B }^{-1}$ 均存在。

但是，由于 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ $=$ $0$, 因此，矩阵 $\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B }$ 的逆矩阵 $(\boldsymbol { A } + \boldsymbol { B })^{-1}$ 不存在，即 D 选 项 不 正 确 。

综上可知，本 题 应 选 B

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