矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

(A) $|\mathit{A}+\mathit{B}|$ $=$ $|\mathit{A}|$ $+$ $|\mathit{B}|$

(B) $|\mathit{A}\mathit{B}|$ $=$ $|\mathit{B}\mathit{A}|$

(C) $\mathit{A}\mathit{B}$ $=$ $\mathit{B}\mathit{A}$

(D) $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^{–1}$ $=$ ${\mathit{A}}^{–1}+{\mathit{B}}^{–1}$

难度评级：

二、解析

$\mathit{A}$, $\mathit{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，于是：

$$|\mathit{A}\mathit{B}|=|\mathit{A}|\cdot |\mathit{B}|=|\mathit{B}|\cdot |\mathit{A}|$$

$$|\mathit{B}\mathit{A}|=|\mathit{B}|\cdot |\mathit{A}|=|\mathit{A}|\cdot |\mathit{B}|$$

即：

$$|\mathit{A}\mathit{B}|=|\mathit{B}\mathit{A}|$$

因此可知，矩阵对应的行列式满足交换律，B 选 项 正 确 。

且根据前面的分析可知，矩阵本身不满足交换律，C 选 项 不 正 确 。

对于 A 选项，我们可以设：

$$\begin{array}{rl}\mathit{A}& =\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\\ \\ \mathit{B}& =\left[\begin{array}{cc}–1& –2\\ –3& –4\end{array}\right]\end{array}$$

于是有：

$$|\mathit{A}|=|\mathit{B}|=–2$$

但是：

$$|\mathit{A}+\mathit{B}|=0\ne -4$$

所以 A 选 项 不 正 确。

同时，由于 $|\mathit{A}|$ $=$ $|\mathit{B}|$ $=$ $-2$ $\ne$ $0$, 所以矩阵 $\mathit{A}$ 和矩阵 $\mathit{B}$ 的逆矩阵 ${\mathit{A}}^{-1}$ 和 ${\mathit{B}}^{-1}$ 均存在。

但是，由于 $\mathit{A}+\mathit{B}$ $=$ $0$, 因此，矩阵 $\mathit{A}+\mathit{B}$ 的逆矩阵 $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^{-1}$ 不存在，即 D 选 项 不 正 确 。

综上可知，本 题 应 选 B

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