求导符号的位置变了，含义很可能也就变了

一、前言

下面这两个式子有什么区别：

$$
[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]
$$

$$
[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将带你一探究竟！

二、正文

< 1 >

$[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]$ 表示的是函数 $f(x)$ 在点 $\textcolor{orangered}{-x}$ 处的导数，该式子还可以写成如下形式：

$$
[f_{\textcolor{orangered}{-x}}^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]
$$

根据一点处导数的定义，我们有：

$$
[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(\textcolor{orangered}{-x})] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\textcolor{orangered}{-x} + \Delta x) – f(\textcolor{orangered}{-x})}{\Delta x}
$$

< 2 >

$[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}$ 表示的是函数 $f(-x)$ 在点 $x$ 处的导数，该式子还可以写成如下形式：

$$
[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}_{\textcolor{orangered}{x}}
$$

根据一点处导数的定义，我们有：

$$
[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f[- (\textcolor{orangered}{x + \Delta x})] – f(- \textcolor{orangered}{x})}{\Delta x}
$$

< 3 >

因此，如果 $[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]$ 和 $[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}$ 表示的是同一个映射关系，则：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{[f(-x)]^{\prime}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f[- (x + \Delta x)] – f(- x)}{\Delta x} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(- x – \Delta x) – f(- x)}{\Delta x} \\ \\
& \xlongequal{\Delta x = – \Delta x} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(- x + \Delta x) – f(- x)}{-\Delta x} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{- [f^{\prime}(-x)]}
\end{aligned}
$$

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