求导符号的位置变了，含义很可能也就变了

一、前言

下面这两个式子有什么区别：

$$[f^{\prime }(-x)]$$

$$[f(-x){]}^{\prime }$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将带你一探究竟！

二、正文

< 1 >

$[f^{\prime }(-x)]$ 表示的是函数 $f(x)$ 在点 $-x$ 处的导数，该式子还可以写成如下形式：

$$[f_{-x}^{\prime }(-x)]$$

根据一点处导数的定义，我们有：

$$[f^{\prime }(-x)]=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(-x+\mathrm{\Delta }x)–f(-x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

< 2 >

$[f(-x){]}^{\prime }$ 表示的是函数 $f(-x)$ 在点 $x$ 处的导数，该式子还可以写成如下形式：

$$[f(-x){]}_x^{\prime }$$

根据一点处导数的定义，我们有：

$$[f(-x){]}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f[-(x+\mathrm{\Delta }x)]–f(-x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

< 3 >

因此，如果 $[f^{\prime }(-x)]$ 和 $[f(-x){]}^{\prime }$ 表示的是同一个映射关系，则：

$$\begin{array}{r}[f(-x){]}^{\prime }\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f[-(x+\mathrm{\Delta }x)]–f(-x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(-x–\mathrm{\Delta }x)–f(-x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ \\ & \stackrel{\mathrm{\Delta }x=–\mathrm{\Delta }x}{=}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(-x+\mathrm{\Delta }x)–f(-x)}{-\mathrm{\Delta }x}\\ \\ & =-[f^{\prime }(-x)]\end{array}$$

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