2012 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设 $A,B,C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(AB)$ $=$ $\frac{1}{2}$, $P(C)$ $=$ $\frac{1}{3}$, 则 $P(AB|\overline{C})$ $=$__.

二、解析

$A$与 $C$ 互不相容 $\Rightarrow$ $A$ $\cap$ $C$ $=$ $\varphi$ $\Rightarrow$ $P(AC)$ $=$ $P(\varphi )$ $=$ $P(\varphi \cap B)$ $\Rightarrow$ $P(AC\cap B)$ $=$ $0$.

于是，我们有：

$P(AB|\overline{C})$ $=$ $\frac{P(AB\overline{C})}{P(\overline{C})}$ $=$ $\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(AB\cap ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{3}{4}$.

综上可知，正确答案：$\frac{3}{4}$.

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