2024年考研数二第18题解析:微分方程的代换化简,一重积分的计算

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

第 (1) 问

本问的目的就是让我们用换元的方法将原微分方程中所有出现 x 或者和 x 相关的部分全部用 et 替换。

首先,由于接下来要求解 dtdx, 因此,由 x(t)=et 可知:

t(x)=lnx

接着,将 y 看作 x 的函数,x 看作 t 的函数,用复合函数的求解方法,分别表示出 yy:

y= dy dx= dy dt dt dx= dy dt1x

y= d2y dx2= d dx( dy dx)= d dx( dy dt1x)=( d2y dt21x)1x+ dy dt(1x2)=1x2( d2y dt2 dy dt)

于是,原方程 x2yxy9y=0 可以转化为:

x21x2( d2y dt2 dy dt)+x dy dt1x9y=0

 d2y dt29y=0

(1)y9y=0

上面 (1) 式的特征方程为:

λ29=0{λ1=3λ2=3

于是,(1) 式对应的特征方程的通解为:

y=C1e3t+C2e3t

又:

x=et

所以:

(2)y==C1x3+C2x3

y|x=1=2, y|x=1=6 代入上面的 (2) 式,得:

{C1=2C2=0

综上可知,y(x)=2x3.

第 (2) 问

由第 (1) 问可知 y(x)=2x3, 于是:

12y(x)4x2 dx=122x34x2 dx=12x24x2 dx2=t=4x230(4t)t dt=03(4t)t dt=403t12 dt03t32 dt=423t32|0325t52|03=2253

由第 (1) 问可知 y(x)=2x3, 于是:

12y(x)4x2 dx=122x34x2 dx=x=2sint2π6π28sin3t2cost2cost dt=64π6π2sin3tcos2t dt=64π6π2sin3t(1sin2t) dt=64π6π2sin3t dt64π6π2sin5t dt=64π6π2sin2t d(cost)+64π6π2sin4t d(cost)=64π6π2(1cos2t) d(cost)+64π6π2(1cos2t)2 d(cost)=k=cost64320(1k2) dk+64320(1k2)2 dk=640sqrt32[(1k2)(1k2)2] dk=64032(k2k4) dk=64(13k315k5)|032=64(13338159332)=831835=4031835=2235


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