复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去

题目一

难度评级：

解析一

对 $x$ 求偏导，则 $y$ 看作常数，可以先将 $y=0$ 代入原式，则有：

$$z=(x+1{)}^x$$

对幂指函数求导，最好将其转为对数函数或者含有 $e$ 的函数，因此，有：

$$z=e^{x\ln (x+1)}$$

求偏导：

$$\begin{array}{r}{\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(1,0)}\\ & ={e^{x\ln (x+1)}[\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}]|}_{(1,0)}\\ & =2(\ln 2+\frac{1}{2})\\ & =2\ln 2+1\end{array}$$

题目二

难度评级：

解析二

首先，将 $x=0$, $y=2$ 代入 $(x+1)z$ $+$ $y\ln z$ $-$ $\arctan (2xy)$ $=$ $1$, 得：

$$z+2\ln z–0=1\Rightarrow z=1$$

由于 $y$ 与 $x$ 和 $z$ 都无关，因此，可以先把 $y=2$ 代入 $(x+1)z$ $+$ $y\ln z$ $-$ $\arctan (2xy)$ $=$ $1$, 得：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (x+1)z+2\ln z–\arctan (4x)=1\end{array}$$

对上面的 (1) 式求 $x$ 的偏导，得：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& z+(x+1)z_x^{\prime }+2\frac{z_x^{\prime }}{z}-4\frac{1}{1+(4x{)}^2}=0\end{array}$$

将 $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\\ z=1\end{array}$ 代入上面的 (2) 式，得：

$$1+z_x^{\prime }+2z_x^{\prime }-4=0$$

进而可得：

$$z_x^{\prime }={\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(0,2)}=1$$

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