2024年考研数二第09题解析：抽象矩阵秩的特征

一、题目

难度评级：

二、解析

解法一

由于 $\mathit{A}\ne {\mathit{A}}^{\ast }$, 因此：

$$\mathit{A}–{\mathit{A}}^{\ast }\ne \mathit{O}$$

又由于 $\mathit{A}(\mathit{A}-{\mathit{A}}^{\ast })=\mathit{O}$, 若令 $x$ $=$ $\mathit{A}–{\mathit{A}}^{\ast }$, 则意味着下面的齐次线性方程组有非零解 $x\ne 0$:

$$\mathit{A}\mathit{x}=0$$

因此，为了使上式成立，必须有：

$$\begin{array}{rl}|\mathit{A}\mathit{x}|=0& \Rightarrow \\ |\mathit{A}||\mathit{x}|=0& \Rightarrow \\ |\mathit{x}\ne 0|& \Rightarrow \\ & |\mathit{A}|=0\end{array}$$

又因为：

$$\begin{array}{r}\mathit{A}\left(\mathit{A}–{\mathit{A}}^{\ast }\right)=\mathit{O}\\ & \Rightarrow {\mathit{A}}^2-\mathit{A}{\mathit{A}}^{\ast }=\mathit{O}\\ & \Rightarrow {\mathit{A}}^2-|\mathit{A}|\mathit{E}=\mathit{O}\\ & \Rightarrow {\mathit{A}}^2=\mathit{O}\end{array}$$

接着，由《平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2》这篇文章可知，$4$ 阶矩阵 $A$ 的秩满足：

$$r(\mathit{A})\le 2$$

同时，若 $r(\mathit{A})=0$, 则：

$$\mathit{A}={\mathit{A}}^{\ast }=\mathit{O}$$

为了满足题意，只能有：

$$\{\begin{array}{l}r(\mathit{A})=1\\ r(\mathit{A})=2\end{array}$$

综上可知，本题应选 $\mathrm{D}$.

解法二

由《平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2》这篇文章可知：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& r(A)+r(A-A^{\ast })\le 4\end{array}$$

又由 $A\ne A^{\ast }$ 可知：

$$A–A^{\ast }\ne O\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& r(A-A^{\ast })\ge 1\end{array}$$

结合 (1) 式和 (2) 式可知：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& 1\le r(A)\le 3\end{array}$$

即：

$$|A|=0$$

又由题目已知条件 $A(A–A^{\ast })=O$ 可知：

$$A^2=A{A}^{\ast }=|A|E=O$$

因此，同样由《平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2》这篇文章可知：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& r(A)\le 2\end{array}$$

结合 (3) 式和 (4) 式可知：

$$1\le r(A)\le 2$$

因此，本题应选 D .

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