特殊条件约束下的一般非齐次二阶线性微分方程特解的求解

一、题目

已知，方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-2x}$ 满足条件 $y(0)=0$ 和 $y^{\prime }(0)=1$. 则该方程的特解为（ ）

难度评级：

二、解析

1. 齐通

首先，题目已知非齐次微分方程对应的齐次微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $0$ 的特征方程为：

$${\lambda }^2+4\lambda +4=0$$

求解上式可得特征解为：

$${\lambda }_1={\lambda }_2=-2$$

于是，该齐次方程的通解可写作：

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$$

其中，$C_1$, $C_2$ 为任意常数。

2. 非齐特

由于题目给出的非齐次微分方程的右端项为 $e^{-2x}$, 且对应的特征解也是 $-2$.

于是可知，右端项 $e^{-2x}$ 中的 $-2$ 是对应特征方程的二重根。

于是，该非齐次微分方程的特解可写作：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y^{\ast }=A{x}^k{e}^{-2x}=A{x}^2{e}^{-2x}\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y^{\ast \prime }=(2Ax–2A{x}^2)\cdot e^{-2x}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& y^{\ast \prime \prime }=(2A–8Ax+4A{x}^2)\cdot e^{-2x}\end{array}$$

将上面的 $(1)$, $(2)$, $(3)$ 式代入 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ ${\mathrm{e}}^{-2x}$, 可得：

$$2A=1\Rightarrow$$

$$A=\frac{1}{2}$$

3. 非齐通

有前面的分析可得，该非齐次微分方程的通解可写作：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& Y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x}\end{array}$$

且：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& Y^{\prime }=[C_2–2(C_1+C_{2}x)+x–x^2]e^{-2x}\end{array}$$

将 $Y(0)=0$, $Y^{\prime }(0)=1$ 代入 $(4)$, $(5)$ 式，得：

$$\{\begin{array}{l}{C}_1=0\\ C_2=1\end{array}$$

综上可得，符合题目要求得结果为：

$$y=x{e}^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x}$$

---