2024年考研数二第06题解析：绘制积分区域，变换积分次序

一、题目

设 $f(x,y)$ 是连续函数, 则 ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=()$

(A) ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$

(B) ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\arcsin y}^{\frac{\pi }{2}}f(x,y)\mathrm{d}x$

(C) ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$

(D) ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_{\arcsin y}^{\frac{\pi }{2}}f(x,y)\mathrm{d}x$

难度评级：

二、解析

观察题目可知，本题是一个二重积分，题目中给出的式子是先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分，选项中的式子是先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分，因此，本题考察的就是变换二重积分的积分次序。

由题可知，积分区域 $D$ 为：

$$D=\{(x,y)|\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{2},\sin x\le y\le 1\}$$

如图 01 和图 02 所示，红色区域表示 $\sin x\le y\le 1$, 蓝色区域就是积分区域 $D$:

于是，为了变换积分次序，我们可以将积分区域 $D$ 等价表示为：

$$D=\{(x,y)|\frac{\pi }{6}\le x\le \arcsin y,\frac{1}{2}\le y\le 1\}$$

于是：

$${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=$$

$${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$$

综上可知，本题应选 A .

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