2024年考研数二第06题解析：绘制积分区域，变换积分次序

一、题目

设 $f(x, y)$ 是连续函数, 则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{~d} y=(\quad)$

(A) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{~d} x$

(B) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{~d} x$

(C) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{~d} x$

(D) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{~d} x$

难度评级：

二、解析

观察题目可知，本题是一个二重积分，题目中给出的式子是先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分，选项中的式子是先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分，因此，本题考察的就是变换二重积分的积分次序。

由题可知，积分区域 $D$ 为：

$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., \ \sin x \leq y \leq 1\right\}
$$

如图 01 和图 02 所示，红色区域表示 $\sin x \leq y \leq 1$, 蓝色区域就是积分区域 $D$:

于是，为了变换积分次序，我们可以将积分区域 $D$ 等价表示为：

$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{6} \leq x \leq \arcsin y\right., \ \frac{1}{2} \leq y \leq 1\right\}
$$

于是：

$$
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y =
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x
}
$$

综上可知，本题应选 A .

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