2024年考研数二第05题解析：二元函数在一点处可微的判定、有界震荡无极限

一、题目

已知函数 $f(x,y)$ $=$ $\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$, 则在点 $(0,0)$ 处

(A) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续, $f(x,y)$ 可微

(B) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续, $f(x,y)$ 不可微

(C) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续, $f(x,y)$ 可微

(D) $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续, $f(x,y)$ 不可微

难度评级：

二、解析

在本题中，我们：
*用 $f_x^{\prime }(x,y)$ 表示 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$;
** 用 $f_y^{\prime }(x,y)$ 表示 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$.

首先，当 $x=0$, $y=0$, 即在 $(0,0)$ 点处，有：

$$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{0-0}{x}=0$$

同理：

$$f_y^{\prime }(0,0)=\underset{y\to 0}{lim}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\underset{y\to 0}{lim}\frac{0–0}{y}=0$$

同时，当 $x\ne 0$ 时：

$$\begin{array}{r}{f}_x^{\prime }(x,y)\\ \\ & ={[(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy}]}_x^{\prime }\\ \\ & =2x\sin \frac{1}{xy}+(x^2+y^2)\frac{1}{y}\cdot \frac{-1}{x^2}\cos \frac{1}{xy}\\ \\ & =2x\sin \frac{1}{xy}–\frac{x^2+y^2}{x^{2}y}\cos \frac{1}{xy}\end{array}$$

由于当 $(x,y)\to (0,0)$ 时, 由上面的式子可知，$f_x^{\prime }(x,y)$ 震荡无极限（极限不存在），因此 $f_x^{\prime }(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点处不连续，排除 A、B 选项。

接着，根据二元函数可微的判别公式，有：

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x^{\prime }(0,0)x-f_y^{\prime }(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=$$

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{f(x,y)–0–0\cdot x–0\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=$$

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy}}{\sqrt{x^2+y^2}}=$$

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\sqrt{x^2+y^2}\sin \frac{1}{xy}=$$

$$0\cdot \text{有界震荡函数}=0$$

因此可知，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点处可微, 排除 D 选项。

综上可知，本题应选 C .

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