2024年考研数二第05题解析：二元函数在一点处可微的判定、有界震荡无极限

一、题目

已知函数 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x y}, & x y \neq 0 \\ 0, & x y=0\end{array}\right.$, 则在点 $(0,0)$ 处

(A) $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续, $f(x, y)$ 可微

(B) $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 连续, $f(x, y)$ 不可微

(C) $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续, $f(x, y)$ 可微

(D) $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$ 不连续, $f(x, y)$ 不可微

难度评级：

二、解析

在本题中，我们：
*用 $f^{\prime}_{x}(x, y)$ 表示 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}$;
** 用 $f^{\prime}_{y}(x, y)$ 表示 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$.

首先，当 $x = 0$, $y = 0$, 即在 $(0,0)$ 点处，有：

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{0-0}{x}=0
$$

同理：

$$
f_{y}^{\prime}(0,0) = \lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y} = \lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{0 – 0}{y} = 0
$$

同时，当 $x \neq 0$ 时：

$$
\begin{aligned}
f_{x}^{\prime}(x, y) \\ \\
& = \left[ \left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x y} \right]^{\prime}_{x} \\ \\
& = 2x \sin \frac{1}{xy} + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y} \cdot \frac{-1}{x^2} \cos \frac{1}{xy} \\ \\
& = 2 x \sin \frac{1}{x y} – \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} y} \cos \frac{1}{x y}
\end{aligned}
$$

由于当 $(x, y) \rightarrow(0,0)$ 时, 由上面的式子可知，$f_{x}^{\prime}(x, y)$ 震荡无极限（极限不存在），因此 $f_{x}^{\prime}(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点处不连续，排除 A、B 选项。

接着，根据二元函数可微的判别公式，有：

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)-f_{x}^{\prime}(0,0) x-f_{y}^{\prime}(0,0) y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y) – 0 – 0 \cdot x – 0 \cdot y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x y}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{1}{x y}=
$$

$$
0 \cdot \text{有界震荡函数} = 0
$$

因此可知，$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点处可微, 排除 D 选项。

综上可知，本题应选 C .

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