在这道题目中 y 是 x 的函数吗？

一、题目

已知 $y=x z$，$z=z(x, y)$ 由方程 $\frac{x}{z}$ $=$ $\ln \frac{z}{y}$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=\frac{1}{e}}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

分析：
在本题中，虽然存在函数 $z = z(x, y)$, 但并不能说明 $y$ 和 $x$ 一样都仅仅是 $z$ 的自变量。因为，还存在函数 $y = xz$, 这说明函数 $y$ 是由自变量 $x$ 定义的，而函数 $z$ 又是由 $x$ 和由 $x$ 定义的 $y$ 定义的——本质上说，函数 $z$ 只有 $x$ 这一个自变量。

首先，对函数 $y=x z$ 求导（或者求偏导）：

$$
\textcolor{yellow}{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=z+x \cdot \frac{\partial z}{\partial x} } \tag{1}
$$

又已知 $x=\frac{1}{e}$, 于是由 $(1)$ 式可知：

$$
\textcolor{yellow}{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=z+\frac{1}{e} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} } \tag{2}
$$

联立 $\begin{cases}
y=x z \\
x=\frac{1}{e}
\end{cases}$, 得：

$$
y=\frac{z}{e}
$$

于是，将 $\begin{cases}
x=\frac{1}{e} \\
y=\frac{z}{e}
\end{cases}$ 代入题目已知条件 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$, 得：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{e z} = \ln e \\
& \Rightarrow \frac{1}{e z}=1 \\
& \Rightarrow \textcolor{springgreen}{z=\frac{1}{e} }
\end{aligned}
$$

接着，由 $x=\frac{1}{e}$, $z=\frac{1}{e}$ 和 $y=x z$ 可知：

$$
\textcolor{springgreen}{y=\frac{1}{e^{2}} }
$$

进而，由 $(2)$ 式，可得：

$$
\textcolor{yellow}{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{e}+\frac{1}{e} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} } \tag{3}
$$

对上面的 $(3)$ 式进行分析可知，我们还需要求出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值才可以完成本题的求解。因此，只能在 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 等号两边同时对 $x$ 求偏导：

错误解法：

$$
\textcolor{orangered}{
\cancel{
\frac{1}{z}+x \cdot \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{z} \cdot \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}
}}
$$

正确解法：

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{z-x \frac{\partial z}{\partial x}}{z^{2}}=\frac{y}{z} \cdot \frac{\frac{\partial z}{\partial x} \cdot y-z \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}{y^{2}} } \Rightarrow
$$

$$
\frac{z-x \frac{\partial z}{\partial x}}{z}=\frac{y \cdot \frac{\partial z}{\partial x}-z \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}{y} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
x=\frac{1}{e} \\
z=\frac{1}{e} \\
y=\frac{1}{e^{2}}
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\left(\frac{1}{e}-\frac{1}{e} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}\right) e=e^{2}\left(\frac{1}{e^{2}} \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{1}{e} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)
$$

$$
\left(1-\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial z}{\partial x}-e \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{yellow}{
e \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2 \frac{\partial z}{\partial x}-1 } \tag{4}
$$

联立 $(3)$, $(4)$ 两式，得：

$$
\begin{cases}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{e}+\frac{1}{e} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \\ \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{2}{e} \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{1}{e}
\end{cases}
$$

于是：

$$
\frac{1}{e}+\frac{1}{e} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2}{e} \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{1}{e} \Rightarrow
$$

$$
1+\frac{\partial z}{\partial x}=2 \frac{\partial z}{\partial x}-1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=2
$$

综上，将 $\frac{\partial z}{\partial x}$ $=$ $2$ 代入 $(3)$ 式，可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{e}+\frac{1}{e} \cdot 2=\frac{3}{e}
}
$$

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