在这道题目中 y 是 x 的函数吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 y=xzz=z(x,y) 由方程 xz = lnzy 确定, 则 dydx|x=1e = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,对函数 y=xz 求导(或者求偏导):

(1)dydx=z+xzx

又已知 x=1e, 于是由 (1) 式可知:

(2)dydx=z+1ezx

联立 {y=xzx=1e, 得:

y=ze

于是,将 {x=1ey=ze 代入题目已知条件 xz=lnzy, 得:

1ez=lne1ez=1z=1e

接着,由 x=1e, z=1ey=xz 可知:

y=1e2

进而,由 (2) 式,可得:

(3)dydx=1e+1ezx

对上面的 (3) 式进行分析可知,我们还需要求出 zx 的值才可以完成本题的求解。因此,只能在 xz=lnzy 等号两边同时对 x 求偏导:

错误解法:

1z+x1z2zx=yz1z2zx

正确解法:

zxzxz2=yzzxyzdydxy2

zxzxz=yzxzdydxy

{x=1ez=1ey=1e2

(1e1ezx)e=e2(1e2zx1edydx)

(1zx)=zxedydx

(4)edydx=2zx1

联立 (3), (4) 两式,得:

{dydx=1e+1ezxdydx=2ezx1e

于是:

1e+1ezx=2ezx1e

1+zx=2zx1

zx=2

综上,将 zx = 2 代入 (3) 式,可得:

dydx=1e+1e2=3e


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