对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2–A–2E=O$, 且 $|A|=2$. 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，再将第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$, 则 $|B+3E|=?$

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二、解析

设 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则：

$$Ax=\lambda x$$

其中，$x\ne 0$

于是：

$$A^2–A–2E=O\Rightarrow$$

$$(A^2–A–2E)x=({\lambda }^2–\lambda –2)x=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2–\lambda –2=0\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (\lambda +1)(\lambda –2)=0\end{array}$$

求解 $(1)$ 式可知，$\lambda =-1$ 或者 $\lambda =2$

又由 $|A|=2$ 可知，矩阵 $A$ 的特征值只能是如下的组合：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=–1\\ {\lambda }_2=–1\\ {\lambda }_3=2\end{array}$$

接着，将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，就相当于在 $A$ 的右侧乘以下面的矩阵 $Q$:

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

同时，将 $A$ 的第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行，就相当于在 $A$ 的左侧乘以下面的矩阵 $P$:

$$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

即：

$$B=PAQ$$

接下来，根据不同的思考方式，有如下两种解法：

解法一

观察可知，矩阵 $P$ 和 $Q$ 都是上三角矩阵，因此，其特征值就是主对角线上元素的值。又因为 $P$ 和 $Q$ 主对角线上的元素都是 $1$, 因此，$P$ 和 $Q$ 的特征值都是 $1$. 这也就意味着，矩阵乘法运算 $PAQ$ 对特征值的影响，就相当于将 $A$ 的特征值逐个乘以 $1$, 也就是说，经过矩阵乘法运算 $PAQ$ 得到的矩阵 $B$ 的特征值与矩阵 $A$ 的特征值一致。

于是，矩阵 $B+3E$ 的特征值就是：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=-1+3=2\\ {\lambda }_2=-1+3=2\\ {\lambda }_3=2+3=5\end{array}$$

于是：

$$|B+3E|=2\times 2\times 5=20$$

解法二

由于 $PQ=E$, 因此：

$$P^{-1}=Q$$

于是：

$$B=PAQ=PA{P}^{-1}=A$$

进而：

$$|B+3E|=|A+3E|=2\times 2\times 5=20$$

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