对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{2} – A – 2E = O$, 且 $|A| = 2$. 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，再将第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$, 则 $|B + 3 E| = ?$

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二、解析

设 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则：

$$
Ax = \lambda x
$$

其中，$x \neq 0$

于是：

$$
A^{2} – A – 2E = O \Rightarrow
$$

$$
(A^{2} – A – 2E) x = (\lambda^{2} – \lambda – 2) x = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2} – \lambda – 2 = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda + 1) (\lambda – 2) = 0 \tag{1}
$$

求解 $(1)$ 式可知，$\lambda = -1$ 或者 $\lambda = 2$

又由 $|A| = 2$ 可知，矩阵 $A$ 的特征值只能是如下的组合：

$$
\begin{cases}
\lambda_{1} = – 1 \\
\lambda_{2} = – 1 \\
\lambda_{3} = 2
\end{cases}
$$

接着，将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，就相当于在 $A$ 的右侧乘以下面的矩阵 $Q$:

$$
Q = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

同时，将 $A$ 的第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行，就相当于在 $A$ 的左侧乘以下面的矩阵 $P$:

$$
P = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

即：

$$
B = PAQ
$$

接下来，根据不同的思考方式，有如下两种解法：

解法一

观察可知，矩阵 $P$ 和 $Q$ 都是上三角矩阵，因此，其特征值就是主对角线上元素的值。又因为 $P$ 和 $Q$ 主对角线上的元素都是 $1$, 因此，$P$ 和 $Q$ 的特征值都是 $1$. 这也就意味着，矩阵乘法运算 $PAQ$ 对特征值的影响，就相当于将 $A$ 的特征值逐个乘以 $1$, 也就是说，经过矩阵乘法运算 $PAQ$ 得到的矩阵 $B$ 的特征值与矩阵 $A$ 的特征值一致。

于是，矩阵 $B + 3E$ 的特征值就是：

$$
\begin{cases}
\lambda_{1} = -1 + 3 = 2 \\
\lambda_{2} = -1 + 3 = 2 \\
\lambda_{3} = 2 + 3 = 5
\end{cases}
$$

于是：

$$
|B + 3E| = 2 \times 2 \times 5 = 20
$$