2023年考研数二第19题解析：定积分、旋转体的体积

一、题目

已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., \ x \geq 1\right \}$,

(1) 求 $\mathrm{D}$ 的面积.

(2) 求 $\mathrm{D}$ 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.

难度评级：

二、解析

(1)

注意：求解第 (1) 问的时候，只需要将题目给出的条件翻译成表达式并计算即可，不需要考虑题目中给出的函数对应什么样的函数图像。

根据题目已知条件计算一重定积分：

$$
\begin{aligned}
S= \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~ d} x = \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\frac{-1}{x^{2}} \Rightarrow \\ \\
& -\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{x}\right) \Rightarrow t=\frac{1}{x} \Rightarrow \\ \\
& -\int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~ d} t= \\ \\
& \ln \left|t+\sqrt{1+t^{2}}\right|_{0}^{1} = \ln (1+\sqrt{2})
\end{aligned}
$$

(2)

根据旋转体的体积计算公式：

$$
\begin{aligned}
V= \\ \\
& \pi \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x = \\ \\
& \pi \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} x = \\ \\
& \pi\left(\left.\frac{-1}{x}\right|_{1} ^{+\infty}-\left.\arctan x\right|_{1} ^{+\infty}\right)= \\ \\
& \pi\left[0+1-\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right] = \\ \\
& \pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right)=\pi-\frac{\pi^{2}}{4}
\end{aligned}
$$

---