2023年考研数二第19题解析：定积分、旋转体的体积

一、题目

已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\le y\le \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x\ge 1\}$,

(1) 求 $\mathrm{D}$ 的面积.

(2) 求 $\mathrm{D}$ 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.

难度评级：

二、解析

(1)

注意：求解第 (1) 问的时候，只需要将题目给出的条件翻译成表达式并计算即可，不需要考虑题目中给出的函数对应什么样的函数图像。

根据题目已知条件计算一重定积分：

$$\begin{array}{r}S=\\ \\ & {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\\ \\ & {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2\sqrt{1+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}\mathrm{d}x\Rightarrow {\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{-1}{x^2}\Rightarrow \\ \\ & -{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)\Rightarrow t=\frac{1}{x}\Rightarrow \\ \\ & -{\int }_1^0\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{d}t=\\ \\ & \ln {|t+\sqrt{1+t^2}|}_0^1=\ln (1+\sqrt{2})\end{array}$$

(2)

根据旋转体的体积计算公式：

$$\begin{array}{r}V=\\ \\ & \pi {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x=\\ \\ & \pi {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2})\mathrm{d}x=\\ \\ & \pi ({\frac{-1}{x}|}_1^{+\mathrm{\infty }}-{\arctan x|}_1^{+\mathrm{\infty }})=\\ \\ & \pi [0+1-(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4})]=\\ \\ & \pi (1-\frac{\pi }{4})=\pi -\frac{{\pi }^2}{4}\end{array}$$

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