2023年考研数二第16题解析：非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目

已知线性方程组 $\{\begin{array}{c}a{x}_1+x_3=1\\ x_1+a{x}_2+x_3=0\\ x_1+2x_2+a{x}_3=0\\ a{x}_1+b{x}_2=2\end{array}$ 有解, 其中 $\mathrm{a},\mathrm{b}$ 为常数。

若 $\left|\begin{array}{lll}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|=4$. 则, $\left|\begin{array}{lll}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|=?$

难度评级：

二、解析

设该线性方程组的系数矩阵为 $A$, 增广矩阵为 $(A,b)$, 则根据该线性方程组有解可知：

$$r(A)=r(A,b)$$

又由于该线性方程组只有三个未知数，因此：

$$r(A)=r(A,b)⩽3$$

继续观察可知，题目中给出的已知条件，其实就是增广矩阵 $(A,b)$ 的一部分：

$$\left[\begin{array}{llll}a& 0& 1& 1\\ 1& a& 1& 0\\ 1& 2& a& 0\\ a& b& 0& 2\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{lll}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right]$$

于是，对增广矩阵对应的行列式 $|A,b|$ 按照第 $4$
列展开，得：

$$\begin{array}{r}|A,b|=\\ & \left|\begin{array}{llll}a& 0& 1& 1\\ 1& a& 1& 0\\ 1& 2& a& 0\\ a& b& 0& 2\end{array}\right|=\\ \\ & 1\cdot (-1{)}^{1+4}\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|+2\cdot (-1{)}^{4+4}\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|=\\ \\ & -\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|+2\cdot 4=0\end{array}$$

因此：

$$\left|\begin{array}{lll}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|=8$$

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