2023年考研数二第16题解析：非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目

已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数。

若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$. 则, $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=?$

难度评级：

二、解析

设该线性方程组的系数矩阵为 $A$, 增广矩阵为 $(A, b)$, 则根据该线性方程组有解可知：

$$
r(A) = r(A, b)
$$

又由于该线性方程组只有三个未知数，因此：

$$
r(A) = r(A, b) \leqslant 3
$$

继续观察可知，题目中给出的已知条件，其实就是增广矩阵 $(A, b)$ 的一部分：

$$
\left[\begin{array}{llll}\textcolor{orangered}{a} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1} & 1 \\ \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{a} & \textcolor{orangered}{1} & 0 \\ \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{2} & \textcolor{orangered}{a} & 0 \\ a & b & 0 & 2\end{array}\right]
\Rightarrow
\left[\begin{array}{lll}\textcolor{orangered}{a} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1} \\ \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{a} & \textcolor{orangered}{1} \\ \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{2} & \textcolor{orangered}{a} \end{array}\right]
$$

于是，对增广矩阵对应的行列式 $|A, b|$ 按照第 $4$
列展开，得：

$$
\begin{aligned}
|A, b|= \\
& \left|\begin{array}{llll}a & 0 & 1 & \textcolor{springgreen}{1} \\ 1 & a & 1 & 0 \\ 1 & 2 & a & 0 \\ a & b & 0 & \textcolor{springgreen}{2} \end{array}\right|= \\ \\
& \textcolor{springgreen}{1} \cdot(-1)^{1+4}\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right| + \textcolor{springgreen}{2} \cdot(-1)^{4+4}\left|\begin{array}{ccc}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|= \\ \\
& -\left|\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|+2 \cdot 4=0
\end{aligned}
$$

因此：

$$
\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=8
$$

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