一、题目
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为 ( )
(A) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$
(C) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-4 y_{3}^{2}$
(B) $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$
(D) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$
难度评级：
二、解析 
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=
$$
$$
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{1}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-4\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{2} x_{3}\right) \Rightarrow
$$
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=
$$
$$
2 x_{1}^{2}-3 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3} \Rightarrow
$$
于是可得系数矩阵为：
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right]
$$
接着，开始求解系数矩阵的特征值：
$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda+3 & -4 \\ -1 & -4 & \lambda+3\end{array}\right| =
$$
$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda+7 & -7-\lambda \\ -1 & -4 & \lambda+3\end{array}\right| =
$$
$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -2 \\ 0 & \lambda+7 & 0 \\ -1 & -4 & \lambda-1\end{array}\right| =
$$
$$
(\lambda-2)(\lambda+7)(\lambda-1)-2(\lambda+7)=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda+7)[(\lambda-2)(\lambda-1)-2]=0
$$
$$
(\lambda+7)\left(\lambda^{2}-3 \lambda\right)=0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda(\lambda+7)(\lambda-3)=0 \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
\lambda_{1}=-7 \\
\lambda_{2}=3 \\
\lambda_{3}=0
\end{cases}
}
$$
于是可知，二次型 $f$ 的规范型为：
$$
y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+0 \cdot y_{3}^{2} \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
y_{1}^{2}-y_{2}^{2}
}
$$
综上可知，本题正确选项为 B.
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