判断抽象矩阵的可逆性:矩阵越乘零越多

一、题目题目 - 荒原之梦

n 阶矩阵 A 满足 A3+2A2=O, 请判断矩阵 A+E 的可逆性。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

A3+2A2=O

(1)A3+2A2+E=E

用长除法做因式分解:

A2 +A   E            A+E)A3+2A2+0A+EA3+A2                    A2+0A          A2+A            A+E    A   E    2E     

于是:

A3+2A2+EA+E=(A2+AE)+2E(A+E)

(A+E)(A2+AE)+2E=A3+2A2+E

(1) 式可知:

(A+E)(A2+AE)+2E=E

(A+E)(A2+AE)=E

(2)(A+E)[(A2+AE)]=E

由于矩阵 A+E 的逆矩阵为 (A2+AE), 因此,矩阵 A+E 可逆。

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首先,尝试对 A3+2A2=O 做变形:

A2(A+2E)=O

但是,经过上面的变形,得到的式子中包含的是 A+2E, 而不是未知量 A+E, 因此,上述思路可以先搁置。

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既然由已知推未知不易推出,那么,我们就尝试由未知推已知:

(A+E)2=A2+E+2A

A(A+E)2=A3+A+2A2=A

A(A+E)2=A

进而,由《用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E》这篇文章中的结论可得:

|A|(A+E)2=|A|E

于是,若 |A|0, 则:

(A+E)2=E

{A+E=EA=O 与前提矛盾,舍去A+E=EA=2E 成立 

|A|=0, 则:

首先,为了使 A3+2A2=O, 如果 A3(可能包含为负数的元素)和 2A2(只包含为正数或零的元素)想要在加法运算中抵消各自含有的非零元素,就需要 A=2E, 但此时 |A|0, 因此,当 |A|=0 时,只能有(此时用特征值进行判断更方便,这里主要是为了提供另一种思路):

{A3=O2A2=O

由于矩阵 A 可能是任意一个秩小于 n 的矩阵,为了方便接下来的讨论,我们不妨假设 n 是一个很大很大的数,其中 j 行(或者列)中的元素是全为零的,且 j<n.

但是,只要 nj>3, 根据矩阵具有“越乘零越多”的趋势,我们不能保证在 A 不可逆的情况下,A32A2 都是零矩阵,因此,为了保证 n 为任意阶矩阵时 A3+2A2=O 都成立,此时,只能有:

A=O

当然,上面两种情况中得矩阵 A 作为真正的矩阵 A 的一个子式也是满足条件的,例如,以下的矩阵 A 都能使 A3+2A2=O 成立:

{A=[000000000]A=[200020002]A=[200000000]A=[200020000]

综上可知,矩阵 A+E 一定是可逆矩阵。

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A3+2A=0

λ3+2λ=0

λ2(λ+2)=0

于是可知,矩阵 A 的特征值为:

{λ1=0λ2=0λ3=2

因此,A+E 的特征值为:

{μ1=10μ2=10μ3=10

于是可知:

|A+E|0

因此,矩阵 A+E 可逆。


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