被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换

一、题目

已知 $a>0$, 则：

$$I={\int }_0^a{x}^3\sqrt{\frac{x}{a-x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

首先，由于被积函数的根式比较复杂，且没有平方项，无法使用三角代换，因此，我们尝试直接对根式部分整体代换，令：

$$t=\sqrt{\frac{x}{a-x}}$$

则：

$$t^2=\frac{x}{a-x}\Rightarrow x=\frac{a{t}^2}{1+t^2}\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\frac{(2at(1+t^2)-2a{t}^3)\mathrm{d}t}{{(1+t^2)}^2}\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\frac{2at}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t$$

$$x\in (0,a)\Rightarrow t\in (0,+\mathrm{\infty })$$

于是：

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{a^3{t}^6}{{(1+t^2)}^3}\cdot t\cdot \frac{2at}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t=$$

$$2a^4{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^8}{{(1+t^2)}^5}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

上面的式子的分母中出现了 “$1+x^2$” 的形式，因此尝试用 $\tan$ 做三角代换：

$$t=\tan \theta ,\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$$

于是：

$$I=2a^4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^8\theta {\cos }^{10}\theta \frac{1}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta =$$

$$2a^4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^8\theta \mathrm{d}\theta =$$

$$2a^4\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{35a^4}{128}\pi$$

在用 $x=\tan \theta$ 做三角代换的时候，有以下结论可以直接套用（注意以下两个式子都没有负号）：
$$1+x^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$
$$\mathrm{d}x=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$