求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？

一、题目

由曲线 $y=\mathrm{ch}x=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 及三条直线 $x=-1$, $x=1$, $y=0$ 围成的曲边梯形绕 $Y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于多少？

难度评级：

二、解析

在本题中，我们不需要绘制曲线 $y$ 的示意图，因为题目已经说了围成的图形是一个曲边梯形，因此，直接套公式即可。

由于 $y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 是一个关于 $Y$ 轴对称的偶函数，因此，在绕 $Y$ 轴旋转的时候，我们只需要考虑其在第一象限的部分即可（但是千万不要因为是偶函数就乘以 $2$, 因为这是求旋转体的体积，而不是积分）：

$$V=2\pi {\int }_{-1}^{1}x\cdot \left|\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right|\mathrm{d}x=2\pi {\int }_0^{1}x\cdot \left|\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right|\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=\pi {\int }_0^{1}x(e^x+e^{-x})\mathrm{d}x=$$

$$\pi {\int }_0^{1}x\mathrm{d}\left(e^x\right)-\pi {\int }_0^{1}x\mathrm{d}\left(e^{-x}\right)$$

又：

$${\int }_0^{1}x\mathrm{d}\left(e^x\right)={x{e}^x|}_0^1-{\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x=e-e+1=1$$

又：

$${\int }_0^{1}x\mathrm{d}\left(e^{-x}\right)={x{e}^{-x}|}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}(-x)=$$

$$e^{-1}+e^{-1}-1=\frac{2}{e}-1$$

于是：

$$V=\pi (2-\frac{2}{e})=2\pi (1-\frac{1}{e})$$

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