注意命题推导的箭头“指向”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵,下列命题中正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$

(B) $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$

(C) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$

(D) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 且 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$

难度评级：

二、解析

A, B 选项：

当 $A = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}$ 时，能推出 $AB = O$, 因此，A 选项和 B 选项都不成立。

C 选项：

$$
AB = O \Rightarrow |AB| = 0 \Rightarrow
$$

$$
|A| = 0
$$

或者：

$$
|B| = 0
$$

因此，C 选项正确。

D 选项：

当 $A = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}$ 时，$AB \neq O$, 但是，$|A| = 0$, $|B = 0|$, 因此，D 选项错误。

综上可知，应选 C.

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