你知道转置矩阵和逆矩阵、伴随矩阵、单位矩阵的这一个区别吗？

一、题目

已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆阵，则下列等式不成立的是哪个？

(A) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{E}+\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{2}$

(B) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}+\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{2}$

(C) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A A}^{*}+\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}$

(D) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$

难度评级：

二、解析

A:

$$
\left(A+A^{-1}\right)^{2}=\left(A+A^{-1}\right)\left(A+A^{-1}\right)=
$$

$$
A^{2}+A^{-} A^{-1}+A^{-1} A+\left(A^{-1}\right)^{2}=
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
A^{2}+2 E+\left(A^{-1}\right)^{2}
}
$$

B:

$$
\left(A+A^{\top}\right)^{2}=\left(A+A^{\top}\right)\left(A+A^{\top}\right)=
$$

$$
A^{2}+A A^{\top}+A^{\top} A+\left(A^{\top}\right)^{2} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
A A^{\top} \neq A^{\top} A
}
$$

C:

$$
\left(A+A^{*}\right)^{2}=\left(A+A^{*}\right)\left(A+A^{*}\right)=
$$

$$
A^{2}+A A^{*}+A^{*} A+\left(A^{*}\right)^{2} \Rightarrow
$$

$$
A A^{*}=A \cdot|A| \cdot A^{-1}=|A| \cdot A \cdot A^{-1}=|A|
$$

$$
A^{*} A=|A| A^{-1} A=|A|
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
A A^{*}+A^{*} A=2 A A^{*}
}
$$

D:

$$
(A+E)^{2}=(A+E)(A+E)=
$$

$$
A^{2}+A E+E A+E^{2} = \textcolor{springgreen}{A^{2}+2 A+E}
$$

综上可知，应选 B.

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