你知道转置矩阵和逆矩阵、伴随矩阵、单位矩阵的这一个区别吗？

一、题目

已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆阵，则下列等式不成立的是哪个？

(A) ${(A + A^{- 1})}^{2} = A^{2} + 2 E + {(A^{- 1})}^{2}$

(B) ${(A + A^{⊤})}^{2} = A^{2} + 2 A A^{⊤} + {(A^{⊤})}^{2}$

(D) $(A + E)^{2} = A^{2} + 2 A + E$

难度评级：

${(A + A^{- 1})}^{2} = (A + A^{- 1}) (A + A^{- 1}) =$

$A^{2} + A^{-} A^{- 1} + A^{- 1} A + {(A^{- 1})}^{2} =$

$A^{2} + 2 E + {(A^{- 1})}^{2}$

${(A + A^{⊤})}^{2} = (A + A^{⊤}) (A + A^{⊤}) =$

$A^{2} + A A^{⊤} + A^{⊤} A + {(A^{⊤})}^{2} \Rightarrow$

$A A^{⊤} \neq A^{⊤} A$

${(A + A^{*})}^{2} = (A + A^{*}) (A + A^{*}) =$

$A^{2} + A A^{*} + A^{*} A + {(A^{*})}^{2} \Rightarrow$

$A A^{*} = A \cdot | A | \cdot A^{- 1} = | A | \cdot A \cdot A^{- 1} = | A |$

$A^{*} A = | A | A^{- 1} A = | A |$

$A A^{*} + A^{*} A = 2 A A^{*}$

$(A + E)^{2} = (A + E) (A + E) =$

$A^{2} + A E + E A + E^{2} = A^{2} + 2 A + E$

综上可知，应选 B.

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