矩阵相乘一般不能交换

一、题目

$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$ 成立的充分必要条件是哪个？

(A) $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

(B) $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$

(C) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$

(D) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$

难度评级：

二、解析

由于：

$$
(A + B) (A – B) = A^{2} \textcolor{orangered}{- AB + BA } – B^{2}
$$

当 $A = E$ 或者 $B = O$ 的时候，可得：

$$
-AB + BA = O
$$

因此，可得：

$$
(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}
$$

但是，由 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$ 不一定能推出 $A = E$ 或者 $B = O$ 的结果。

于是可知，$A = E$ 或者 $B = O$ 是 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$ 的充分不必要条件。

由于 $AB = O$ 并不意味着 $BA = O$, 因此，由 $AB = O$ 不一定能推出 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$.

综上可知，只有 $AB = BA$ 是 $(A + B) (A – B) = A^{2} – B^{2}$ 的充分且必要条件，因此本题的正确选项为 D.

---