矩阵相乘一般不能交换

一、题目

$\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则 $(\mathit{A}+\mathit{B})(\mathit{A}-\mathit{B})={\mathit{A}}^2-{\mathit{B}}^2$ 成立的充分必要条件是哪个？

(A) $\mathit{A}=\mathit{E}$

(B) $\mathit{B}=\mathit{O}$

(C) $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}$

(D) $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{B}\mathit{A}$

难度评级：

二、解析

由于：

$$(A+B)(A–B)=A^2-AB+BA–B^2$$

当 $A=E$ 或者 $B=O$ 的时候，可得：

$$-AB+BA=O$$

因此，可得：

$$(A+B)(A–B)=A^2–B^2$$

但是，由 $(A+B)(A–B)=A^2–B^2$ 不一定能推出 $A=E$ 或者 $B=O$ 的结果。

于是可知，$A=E$ 或者 $B=O$ 是 $(A+B)(A–B)=A^2–B^2$ 的充分不必要条件。

由于 $AB=O$ 并不意味着 $BA=O$, 因此，由 $AB=O$ 不一定能推出 $(A+B)(A–B)=A^2–B^2$.

综上可知，只有 $AB=BA$ 是 $(A+B)(A–B)=A^2–B^2$ 的充分且必要条件，因此本题的正确选项为 D.

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