一、题目
若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$, 若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 正定, 则 $k$ 的取值范围是多少？
难度评级：
二、解析 
$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda^{2}(\lambda-1)-(\lambda-1)=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda – 1) \Rightarrow
$$
$$
\lambda_{1}=1, \ \lambda_{2}=1, \ \lambda_{3}=-1
$$
于是，$A+k E$ 的特征值就是：
$$
\bar{\lambda}_{1}=1+k, \ \bar{\lambda}_{2}=1+k, \ \bar{\lambda}_{3}=k-1
$$
因此，若矩阵 $A + kE$ 正定，则必有：
$$
\left\{\begin{array}{l}k+1>0 \\ k-1>0\end{array}\right. \Rightarrow k>1
$$
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