正定矩阵的特征值全部大于零

一、题目

若 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$, 若 $\mathit{A}+k\mathit{E}$ 正定, 则 $k$ 的取值范围是多少？

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二、解析

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& -1\\ 0& \lambda -1& 0\\ -1& 0& \lambda \end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2(\lambda -1)-(\lambda -1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)(\lambda +1)(\lambda –1)\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1$$

于是，$A+kE$ 的特征值就是：

$${\overline{\lambda }}_1=1+k,{\overline{\lambda }}_2=1+k,{\overline{\lambda }}_3=k-1$$

因此，若矩阵 $A+kE$ 正定，则必有：

$$\{\begin{array}{l}k+1>0\\ k-1>0\end{array}\Rightarrow k>1$$

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