怎么判断经过四则运算之后的解还是不是原线性方程组的解？

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的三个不同的解,那么下列向量中是导出组 $A x=0$ 解的向量的有哪些？

$$
\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \quad \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}
$$

$$
\frac{2}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}
$$

难度评级：

二、解析

由于：

$$
A\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)=b-b=0
$$

$$
A\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}-2 \alpha_{3}\right)=b+b-2 b=0
$$

$$
A \frac{2}{3}\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)=\frac{2}{3}(b-b)=0
$$

$$
A\left(\alpha_{1}-3 \alpha_{2}+2 \alpha_{3}\right)=b-3 b+2 b=0
$$

因此，题目中所给的解向量全都是 $A x=0$ 的解向量。

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