只要行列式有两行或者两列成比例，则组成该行列式的行或者列向量之间都是线性相关的

一、题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right]$, 其中 $c_{1}, c_{2}$, $c_{3}, c_{4}$ 为任意常数, 则下列向量组线性相关的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

难度评级：

二、解析

由于：

$$
\begin{vmatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{3} & \alpha_{4}
\end{vmatrix} =
$$

$$
\begin{vmatrix}
0 & 1 & -1 \\
0 & -1 & 1 \\
c_{1} & c_{3} & c_{4}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
c_{1} & c_{3} & c_{4}
\end{vmatrix} = 0
$$

因此，正确选项为 C.

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