行列式的数乘和次幂各自有什么运算规律？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=?$

难度评级：

二、解析

$$
(A-E)^{-1}=A^{2}+A+E \Rightarrow
$$

$$
E=(A-E)\left(A^{2}+A+E\right) \Rightarrow
$$

$$
E=A^{3}+A^{2}+A-A^{2}-A-E \Rightarrow
$$

$$
E=A^{3}-E \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{2 E=A^{3} } = \textcolor{springgreen}{ |2 E| = \left|A^{3}\right| } = \textcolor{yellow}{ 2^{3}|E|=|A|^{3} } \Rightarrow
$$

$$
|A|=2
$$

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