1993 年考研数二真题解析：一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式

二、选择题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) 当 $x\to 0$ 时, 变量 $\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$ 是

(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的, 但不是无穷小.
(D) 无界的, 但不是无穷大.

正确选项：D

无穷大乘以一个会等于零的震荡函数，就得到一个无界函数，但不是无穷大。

(2) 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{|x^2-1|}{x-1},& x\ne 1,\\ 2,& x=1,\end{array}$ 则在点 $x=1$ 处函数 $f(x)$

(A) 不连续.
(B) 连续, 但不可导.
(C) 可导, 但导数不连续.
(D) 可导, 且导数连续.

正确选项：A

$$x\to 1^{+}\Rightarrow \frac{|x^2-1|}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=2$$

$$x\to 1^{-}\Rightarrow \frac{|x^2-1|}{x-1}=\frac{-(x+1)(x-1)}{x-1}=-2.$$

(3) 已知 $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,0⩽x<1,\\ 1,1⩽x⩽2,\end{array}$ 设 $F(x)={\int }_1^{x}f(t)\mathrm{d}t(0⩽x⩽2)$, 则 $F(x)$ 为

(A) $\{\begin{array}{cc}\frac{1}{3}{x}^3,& 0⩽x<1,\\ x,& 1⩽x⩽2.\end{array}$
(B) $\{\begin{array}{cc}\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3},& 0⩽x<1,\\ x,& 1⩽x⩽2.\end{array}$
(C) $\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{x}^3,& 0⩽x<1,\\ x-1,& 1⩽x⩽2.\end{array}$
(D) $\{\begin{array}{cc}\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3},& 0⩽x<1,\\ x-1,& 1⩽x⩽2.\end{array}$

正确选项：D

$$x\in (0,1)\Rightarrow F(x)={\int }_1^x{t}^2\mathrm{d}t={\frac{1}{3}{t}^3|}_1^x=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{3}$$

$$x\in (1,2)\Rightarrow F(x)={\int }_1^{x}1\mathrm{d}t={t|}_1^x=x-1.$$

我们还可以采用下面的判断方法：

$f(x)$ 连续，则 $F(x)$ 可导，但 A 、 B 、 C 选项中在 $x=1$ 处不连续，只能推出 $F(x)$ 不可导，因此这几个选项不正确。

(4) 设常数 $k>0$, 函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+k$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 内零点个数为

(A) 3 .
(B) 2 .
(C) 1 .
(D) 0 .

正确选项：B

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}\Rightarrow f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=e.$$

$$f(e)=1-1+k>0$$

又：

$$x\to 0^{+}\Rightarrow f(x)\to -\mathrm{\infty }$$

又因为 $\ln x$ 在 $x\to \mathrm{\infty }$ 时没有 $e^x$ 快，因此：

$$x\to +\mathrm{\infty }\Rightarrow f(x)\to -\mathrm{\infty }$$

于是，由函数图像可知，存在两个零点。

(5) 若 $f(x)=-f(-x)$, 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 内 $f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$, 则 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 内

(A) $f^{\prime }(x)<0,f^{\prime \prime }(x)<0$.
(B) $f^{\prime }(x)<0,f^{\prime \prime }(x)>0$.
(C) $f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)<0$.
(D) $f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$.

正确选项：C

$$f(x)=-f(-x)\Rightarrow \text{ 奇函数 }$$

于是，由图象特征知: $f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)<0$