二、选择题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)
(1) 当 $x \rightarrow 0$ 时, 变量 $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是
(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的, 但不是无穷小.
(D) 无界的, 但不是无穷大.
正确选项：D
无穷大乘以一个会等于零的震荡函数，就得到一个无界函数，但不是无穷大。
(2) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}, & x \neq 1, \\ 2, & x=1,\end{array}\right.$ 则在点 $x=1$ 处函数 $f(x)$
(A) 不连续.
(B) 连续, 但不可导.
(C) 可导, 但导数不连续.
(D) 可导, 且导数连续.
正确选项：A
$$
x \rightarrow 1^{+} \Rightarrow \frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=2
$$
$$
x \rightarrow 1^{-} \Rightarrow \frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}=\frac{-(x+1)(x-1)}{x-1}=-2 .
$$
(3) 已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, 0 \leqslant x<1, \\ 1,1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 设 $F(x)=\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t(0 \leqslant x \leqslant 2)$, 则 $F(x)$ 为
(A) $\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{3} x^{3}, & 0 \leqslant x<1, \\ x, & 1 \leqslant x \leqslant 2 .\end{array}\right.$
(B) $\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{3}, & 0 \leqslant x<1, \\ x, & 1 \leqslant x \leqslant 2 .\end{array}\right.$
(C) $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3} x^{3}, & 0 \leqslant x<1, \\ x-1, & 1 \leqslant x \leqslant 2 .\end{array}\right.$
(D) $\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{3}, & 0 \leqslant x<1, \\ x-1, & 1 \leqslant x \leqslant 2 .\end{array}\right.$
正确选项：D
$$
x \in(0,1) \Rightarrow F(x)=\int_{1}^{x} t^{2} \mathrm{~ d} t=\left.\frac{1}{3} t^{3}\right|_{1} ^{x}=\frac{1}{3} x^{2}-\frac{1}{3}
$$
$$
x \in(1,2) \Rightarrow F(x)=\int_{1}^{x} 1 \mathrm{~ d} t=\left.t\right|_{1} ^{x}=x-1 .
$$
我们还可以采用下面的判断方法：
$f(x)$ 连续，则 $F(x)$ 可导，但 A 、 B 、 C 选项中在 $x=1$ 处不连续，只能推出 $F(x)$ 不可导，因此这几个选项不正确。
(4) 设常数 $k>0$, 函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+k$ 在 $(0,+\infty)$ 内零点个数为
(A) 3 .
(B) 2 .
(C) 1 .
(D) 0 .
正确选项：B
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e} \Rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=e .
$$
$$
f(e)=1-1+k>0
$$
又：
$$
x \rightarrow 0^{+} \Rightarrow f(x) \rightarrow-\infty
$$
又因为 $\ln x$ 在 $x \rightarrow \infty$ 时没有 $e^{x}$ 快，因此：
$$
x \rightarrow+\infty \Rightarrow f(x) \rightarrow-\infty
$$
于是，由函数图像可知，存在两个零点。
(5) 若 $f(x)=-f(-x)$, 在 $(0,+\infty)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内
(A) $f^{\prime}(x)<0, f^{\prime \prime}(x)<0$.
(B) $f^{\prime}(x)<0, f^{\prime \prime}(x)>0$.
(C) $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)<0$.
(D) $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$.
正确选项：C
$$
f(x)=-f(-x) \Rightarrow \text { 奇函数 }
$$
于是，由图象特征知: $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)<0$