曲线与平面的质心和形心计算公式你会用吗？

一、题目

已知抛物叶形线的一部分公式为：

$$y^2=\frac{x}{9}(3-x{)}^2(0⩽x⩽3)$$

如图 01 所示，它围成的图形为 $M$, 则 $M$ 的面积 $A=?$, $M$ 的质心 (形心) $(\overline{x},\overline{y})=?$

难度评级：

二、解析

变形：

$$y^2=\frac{x}{9}(3-x{)}^2\Rightarrow y>0\Rightarrow y=\frac{1}{3}\sqrt{x}(3-x)$$

计算面积：

$$A=2{\int }_0^3\frac{1}{3}\sqrt{x}(3-x)\mathrm{d}x=$$

$${2\cdot \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}|}_0^3-{\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}|}_0^3=\frac{8\sqrt{3}}{5}$$

接着计算形心：

由对称性知：

$$\overline{y}=0$$

又由质心和形心的计算公式可知：

$$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\rho (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\Rightarrow$$

面密度为 $1$:

$$\rho (x,y)=1\Rightarrow$$

$$\overline{x}=\frac{2{\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\Rightarrow$$

$$\overline{x}=\frac{2{\int }_0^{3}x\mathrm{d}x{\int }_0^y\mathrm{d}y}{2{\int }_D^3\mathrm{d}x{\int }_0^y\mathrm{d}y}=\frac{2{\int }_0^{3}xy\mathrm{d}x}{2{\int }_0^{3}y\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\overline{x}=\frac{2{\int }_0^{3}xy(x)\mathrm{d}x}{A}=\frac{2{\int }_0^{3}x\cdot \frac{1}{3}\sqrt{x}(3-x)\mathrm{d}x}{A}\Rightarrow$$

其中：

$$\frac{2}{3}{\int }_0^{3}x\sqrt{x}(3-x)\mathrm{d}x$$

$$\frac{2}{3}\cdot 3\cdot {\int }_0^3{x}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}{\int }_0^3{x}^{\frac{5}{2}}\mathrm{d}x=$$

$${2\cdot \frac{4}{5}{x}^{\frac{5}{2}}|}_0^3-{\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{7}{x}^{\frac{7}{2}}|}_0^3=\frac{8\times 9\times \sqrt{3}}{35}$$

于是：

$$\overline{x}=\frac{8\times 9\times \sqrt{3}}{35}\cdot \frac{5}{8\sqrt{3}}=\frac{9}{7}\Rightarrow$$

$$(\overline{x},\overline{y})=(\frac{9}{7},0)$$

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