前言
在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二 1987 年的真题。
注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干。
一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)
(1) 设 $y=\ln (1+a x)$, 其中 $a$ 为非零常数, 则 $y^{\prime}=?$, $y^{\prime \prime}=?$
直接求导即可：
$$
y^{\prime}=\frac{a}{1+a x}
$$
$$
y^{\prime \prime}=\frac{-a^{2}}{(1+a x)^{2}}
$$
(2) 曲线 $y=\arctan x$ 在横坐标为 $1$ 的点处的切线方程是（）法线方程是（）
$$
y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \Rightarrow x=1 \Rightarrow k=y^{\prime}=\frac{1}{2}
$$
$$
\frac{-1}{k}=-2 \Rightarrow \arctan 1=\frac{\pi}{4} \Rightarrow
$$
$$
y-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}(x-1) \Rightarrow y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}
$$
$$
y-\frac{\pi}{4}=-2(x-1) \Rightarrow y=-2 x+2+\frac{\pi}{4}
$$
（3）积分中值定理的条件是（）, 结论是（）
条件: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 存在 $\xi \in[a, b]$
结论: $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~ d} x=f(\xi) \cdot(b-a)$.
(4) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n-2}{n+1}\right)^{n}=?$
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n-2}{n+1}\right)^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n-2}{n+1}-1\right)^{n}=
$$
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n-2-n-1}{n+1}\right)^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-3}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{-3} \cdot n \cdot \frac{-3}{n+1}} =
$$
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{-3 n}{n+1}}=e^{-3}
$$
(5) $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=?$; $\int_{a}^{b} f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=?$
$$
\int f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x=f(x) + \textcolor{springgreen}{ C }
$$
$$
\int_{a}^{b} f^{\prime}(2 x) \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{\prime}(2 x) \mathrm{~ d} (2 x)=
$$
$$
\frac{1}{2}[f(2 b)-f(2 a)]
$$