1987 年考研数二真题解析

前言

在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二 1987 年的真题。

注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干。

一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) 设 $y=\ln (1+ax)$, 其中 $a$ 为非零常数, 则 $y^{\prime }=?$, $y^{\prime \prime }=?$

直接求导即可：

$$y^{\prime }=\frac{a}{1+ax}$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{-a^2}{(1+ax{)}^2}$$

(2) 曲线 $y=\arctan x$ 在横坐标为 $1$ 的点处的切线方程是（）法线方程是（）

$$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow x=1\Rightarrow k=y^{\prime }=\frac{1}{2}$$

$$\frac{-1}{k}=-2\Rightarrow \arctan 1=\frac{\pi }{4}\Rightarrow$$

$$y-\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}(x-1)\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{\pi }{4}$$

$$y-\frac{\pi }{4}=-2(x-1)\Rightarrow y=-2x+2+\frac{\pi }{4}$$

（3）积分中值定理的条件是（）, 结论是（）

条件: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 存在 $\xi \in [a,b]$

结论: ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )\cdot (b-a)$.

(4) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n-2}{n+1}\right)}^n=?$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n-2}{n+1}\right)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{n-2}{n+1}-1)}^n=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{n-2-n-1}{n+1})}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{-3}{n+1})}^{\frac{n+1}{-3}\cdot n\cdot \frac{-3}{n+1}}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{-3n}{n+1}}=e^{-3}$$

(5) $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=?$; ${\int }_a^b{f}^{\prime }(2x)\mathrm{d}x=?$

$$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$$

$${\int }_a^b{f}^{\prime }(2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^{\prime }(2x)\mathrm{d}(2x)=$$

$$\frac{1}{2}[f(2b)-f(2a)]$$