高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑） - 第5页共7页

题目 05

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin x d x$

解题方法：只有 $\sin$ 且不好求解的时候，可以用 $\cos$ 对原式进行扩展——当积分区间为 $(0, \frac{π}{2})$ 时可以尝试这种方法，因为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的定积分相等。

由于：

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x \Rightarrow$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \cos x d x$

因此：

$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\ln \sin x + \ln \cos x) d x =$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x \cdot \cos x) d x =$

用三角函数倍角公式的时候一定要注意常数系数的改变：

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\frac{\sin 2 x}{2}) d x =$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} [(\ln \sin 2 x) - \ln 2] d x =$

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin 2 x d x - \frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{π}{2} \Rightarrow$

令：

$t = 2 x$

则：

$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \ln \sin t d t - \frac{π \ln 2}{4} \Rightarrow$

凑原来的区间：

$I = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin t d t + \frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \ln \sin t d t - \frac{π \ln 2}{4}$

为了使 $\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \ln \sin t d t$ 的区间变为 $(0, \frac{π}{2})$ , 我们令：

$u = t - \frac{π}{2} \Rightarrow t = u + \frac{π}{2} \Rightarrow$

$t \in (\frac{π}{2}, π) \Rightarrow u \in (0, \frac{π}{2})$

于是：

$\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \ln \sin t d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin (u + \frac{π}{2}) d u =$

奇变偶不变，符号看象限：

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \cos u d u = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \cos t d t$

于是：

$I = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin t d t + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \cos t d t - \frac{π \ln 2}{4} \Rightarrow$

$I = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\ln (\sin t \cdot \cos t)] d t - \frac{π \ln 2}{4}$

又：

$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin t \cdot \cos t) d t$

因此：

$I = \frac{1}{2} I - \frac{π \ln 2}{4} \Rightarrow$

$I = - 2 \times \frac{π \ln 2}{4} = \frac{- π \ln 2}{2}$

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