高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑）

题目 02

$$I={\int }_0^6{x}^2\sqrt{6x-x^2}\mathrm{d}x=?$$

解析 02

解题方法：变形之后用三角代换去根号、奇偶性。

已知：

$$(x-3{)}^2=x^2+9-6x\Rightarrow$$

$$-(x-3{)}^2=6x-x^2-9\Rightarrow$$

$$9-(x-3{)}^2=6x-x^2\Rightarrow$$

于是，令：

$$x-3=3\sin t\Rightarrow \sqrt{6x-x^2}=\sqrt{9-(x-3{)}^2}=$$

$$\sqrt{9-9{\sin }^{2}t}=3\cos t$$

$$x=3\sin t+3\Rightarrow x^2=9(\sin t+1{)}^2\Rightarrow$$

$$x^2=9({\sin }^{2}t+1+2\sin t)\Rightarrow$$

$$x\in (0,6)\Rightarrow x-3\in (-3,3)\Rightarrow$$

$$3\sin t\in (-3,3)\Rightarrow t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

于是：

$$I={\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}9({\sin }^{2}t+1+2\sin t)\cdot 3\cos t\cdot 3\cos t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=81{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{2}t+1+2\sin t){\cos }^{2}t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$2\sin t{\cos }^{2}t$ 是奇函数，可以舍去：

$$I=81{\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{2}t{\cos }^{2}t+{\cos }^{2}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=81\times 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t({\sin }^{2}t+1)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=81\times 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}t)(1+{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=81\times 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{4}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=81\times 2\times (\frac{\pi }{2}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$I=81\times 2\times \frac{5}{8}\times \frac{\pi }{2}\Rightarrow$$

$$I=\frac{405\pi }{8}$$