考研数学不定积分补充例题

题目 07

$$I=\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x=?$$

解析 07

本题主要解题思路为：”$e^x$” 一般对应着凑微分，因此可以尝试凑微分进而分部积分——

只要在尝试计算的过程中，计算的复杂度没有明显的提升，或者已经显露出一些有规律的痕迹，就可以继续尝试计算——考研数学题都是经过精心设计的题目，如果越计算越复杂，只能说明选择的解题方向不对，或者计算出错。

$$I=\int \frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x=\int \frac{e^x+e^x\sin x}{1+\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{e^x}{1+\cos x}\mathrm{d}x+\int \frac{e^x\sin x}{1+\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{e^x}{1+\cos x}\mathrm{d}x+\int \frac{\sin x}{1+\cos x}\mathrm{d}\left(e^x\right)=$$

分部积分：

$$\int \frac{e^x}{1+\cos x}+\frac{e^x\sin x}{1+\cos x}-\int e^x\cdot \frac{\cos x(1+\cos x)+{\sin }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{e^x}{1+\cos x}+\frac{e^x\sin x}{1+\cos x}-\int \frac{e^x(\cos x+1)}{(1+\cos x{)}^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{e^x}{1+\cos x}+\frac{e^x\sin x}{1+\cos x}-\int \frac{e^x}{(1+\cos x)}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=\frac{e^x\sin x}{1+\cos x}+C$$