考研数学不定积分补充例题 - 第2页共8页

题目 02

$I = \int \frac{3 x + 2}{x (1 + x^{2})} d x = ?$

本题主要解题思路为：待定系数。

$I = \int \frac{3 x + 2}{x (1 + x^{2})} d x \Rightarrow \frac{3 x + 2}{x (1 + x^{2})} \Rightarrow$

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}} = \frac{3 x + 2}{x (1 + x^{2})} \Rightarrow$

$A (1 + x^{2}) + x (B x + C) = 3 x + 2 \Rightarrow$

$A + A x^{2} + B x^{2} + C x = 3 x + 2 \Rightarrow$

${\begin{cases} A + B = 0 \\ C = 3 \\ A = 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} A = 2 \\ B = - 2 \\ C = 3 \end{cases}$

于是：

$\frac{3 x + 2}{x (1 + x^{2})} = \frac{2}{x} + \frac{- 2 x + 3}{1 + x^{2}} = \frac{2}{x} - \frac{2 x}{1 + x^{2}} + \frac{3}{1 + x^{2}}$

$I = \int (\frac{2}{x} - \frac{2 x}{1 + x^{2}} + \frac{3}{1 + x^{2}}) d x \Rightarrow$

$I = 2 \ln | x | - \ln | x^{2} + 1 | + 3 \arctan x + C \Rightarrow$

$I = 2 \ln | x | - \ln (x^{2} + 1) + 3 \arctan x + C$

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