cos(arcsin x) 和 sin(arccos x) 等于多少？

一、前言

$$
\textcolor{orangered}{
\cos (\arcsin x) = ?
}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\sin (\arccos x)= ?
}
$$

二、正文

设：

$$
\arcsin x=b \Rightarrow x=\sin b
$$

则：

$$
\sin ^{2} b+\cos ^{2} b=1 \Rightarrow \cos ^{2} b=1-\sin ^{2} b \Rightarrow
$$

$$
\cos b=\cos (\arcsin x)= \pm \sqrt{1-x^{2}}
$$

由于一般情况下，我们都认为三角函数中的角度都是锐角，因此：

$$
\textcolor{orangered}{
\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^{2}}
}
$$

同理，可设：

$$
\arccos x=b \Rightarrow x=\cos b
$$

则：

$$
\sin ^{2} b+\cos ^{2} b=1 \Rightarrow \sin ^{2} b=1-\cos ^{2} b \Rightarrow
$$

$$
\sin b=\sin (\arccos x)= \pm \sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow
$$

由于一般情况下，我们都认为三角函数中的角度都是锐角，因此：

$$
\textcolor{springgreen}{
\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^{2}}
}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\cos (\arcsin x) = \sin ( \arccos x) = \sqrt{1 – x^{2}}
}
}
$$

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