cos(arcsin x) 和 sin(arccos x) 等于多少？

一、前言

$$\cos (\arcsin x)=?$$

$$\sin (\arccos x)=?$$

二、正文

设：

$$\arcsin x=b\Rightarrow x=\sin b$$

则：

$${\sin }^{2}b+{\cos }^{2}b=1\Rightarrow {\cos }^{2}b=1-{\sin }^{2}b\Rightarrow$$

$$\cos b=\cos (\arcsin x)=\pm \sqrt{1-x^2}$$

由于一般情况下，我们都认为三角函数中的角度都是锐角，因此：

$$\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$$

同理，可设：

$$\arccos x=b\Rightarrow x=\cos b$$

则：

$${\sin }^{2}b+{\cos }^{2}b=1\Rightarrow {\sin }^{2}b=1-{\cos }^{2}b\Rightarrow$$

$$\sin b=\sin (\arccos x)=\pm \sqrt{1-x^2}\Rightarrow$$

由于一般情况下，我们都认为三角函数中的角度都是锐角，因此：

$$\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$$

综上可知：

$$\mathbf{cos}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{arcsin}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{sin}\mathbf{}\mathbf{(}\mathbf{arccos}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{1}–{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}}$$

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