sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算？一张图让你秒懂！

一、前言

你是否被下面两个式子的困惑过：

$$\sin (\arctan x)=?$$

$$\cos (\arctan x)=?$$

在荒原之梦网之前的文章中，曾就这类问题做过详细的推理演算（详情请点击这里），现在，只需要看懂一张图，马上就明白了！

二、解析

首先，有下面这张图：

点击查看图 01 的第一版示意图

其中，$AB$ 边长为 $1$, $BC$ 边长为 $x$, $\mathrm{\angle }ABC={90}^{\circ }$.

于是，根据勾股定理可知，$AC=\sqrt{1+x^2}$

进而，若令 $\arctan x=\theta =\mathrm{\angle }BAC$, 则：

$$\sin (\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

$$\cos (\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

Next

当然，如果是求解 $\sin [\arctan (\frac{x}{2})]$ 和 $\cos [\arctan (\frac{x}{2})]$ 的值，只需要把上面图 01 中的所有 $x$ 都替换为 $\frac{x}{2}$ 即可，于是：

$$\sin [\arctan (\frac{x}{2})]=\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1+(\frac{x}{2}{)}^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}$$

$$\cos [\arctan (\frac{x}{2})]=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{x}{2}{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{4+x^2}}$$

Next

当然，$\sin [2\arctan x]$ 和 $\cos [2\arctan x]$ 的值也可以根据图 01 所示的直角三角形求出来：

根据二倍角公式可知：

$$\sin [2\arctan x]=2\sin [\arctan x]\cos [\arctan x]$$

$$\cos [2\arctan x]=2[\csc (\arctan x){]}^2-1$$

又：

$$\sin \arctan x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

$$\cos \arctan x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

于是：

$$\sin [2\arctan x]=\frac{2x}{1+x^2}$$

$$\cos [2\arctan x]=\frac{2-(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{1-x^2}{1+x^2}$$

当然也可以得到：

$$\tan [2\arctan x]=\frac{2x}{1+x^2}\cdot \frac{1+x^2}{1-x^2}$$

$$\tan [2\arctan x]=\frac{2x}{1-x^2}$$

Tips:

如上，若令 $t=\tan \frac{x}{2}$, 就会产生 $x=2\arctan t$. 这样做三角代换的好处之一就是不会引入根号——$\sin [2\arctan x]$、$\cos [2\arctan x]$ 以及 $\tan [2\arctan x]$ 转变之后，都是没有根号的。

---