你会拆分这种行列式吗？

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 是三维线性无关列向量，请问：

$|{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_3+{\mathit{\alpha }}_1|\ne 0$ 一定成立吗？

难度评级：

二、解析

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1)\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1+1=2\ne 0\Rightarrow$$

$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|\left|\begin{array}{lll}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|\ne 0\Rightarrow$$

$$|{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1|\ne 0$$

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